Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

5 класс "Окружность и круг"

Устный счет Вычислите:

Устный счет В первый день посадили 9 рядов смородины по 7 кустов в каждом ряду. Сколько кустов смородины посадили в первый день?

Устный счет Во сколько раз 4 часа меньше суток? Во сколько раз 40 м меньше 1 км?

Устный счет Во сколько раз путь в 36 км длиннее пути в 4 км?

Какие виды линий изображены на рисунке?

КРУГ ОКРУЖНОСТЬ

Циркуль мой, циркач лихой, Чертит круг одной ногой, А другой проткнул бумагу, Уцепился и – ни шагу.

Начертить окружность в тетради. Задание № 1.

О R т. О – центр окружности О R - радиус или r А R - диаметр или d радиус диаметр А d = 2r r = d: 2

А В С D E F K L O r - радиус d – диаметр Перечислите все радиусы и диаметры

Окружность – замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Круг – это часть плоскости, которая лежит внутри окружности (вместе с самой окружностью). Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Все радиусы окружности равны друг другу. Диаметр – отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности. Все диаметры окружности равны друг другу. Самое важное.

ТЕСТ Найдите: сектор, дугу, радиус, диаметр, хорду, сегмент

Через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (через вершины ABC), можно провести окружность, если существует такая четвертая точка. О, которая одинаково удалена от точек А, В и С. Докажем, что такая точка существует и притом только одна. Всякая точка, одинаково удаленная от точек А и В, должна лежать на серединном перпендикуляре MN к отрезку АВ, точно так же всякая точка, одинаково удаленная от точек В и С, должна лежать на серединном перпендикуляре PQ, проведенном к стороне ВС. Значит, если существует точка, одинаково удаленная от трех точек А, В и С, то она должна лежать и на MN, и на PQ, что возможно только тогда, когда она совпадает с точкой пересечения этих двух прямых. Прямые MN и PQ всегда пересекаются, так как они перпендикулярны к пересекающимся прямым АВ и ВС. Точка О их пересечения и будет точкой, одинаково удаленной от А, от В и от С, значит, если примем эту точку за центр, а за радиус возьмем расстояние ОА (или OB, или OC), то окружность пройдет через точки А, В и С. Так как прямые MN и PQ могут пересечься только в одной точке, то центр окружности может быть только один и длина его радиуса может быть только одна; значит, искомая окружность единственная.

Перегнем чертеж по диаметру АВ так, чтобы его левая часть упала на правую. Тогда левая полуокружность совместится с правой полуокружностью и перпендикуляр КС пойдет по KD. Из этого следует, что точка С, представляющая собой пересечение полуокружности с КС, упадет на D; поэтому СК= KD; BC= BD, AC= AD. BC= BD AC= AD

Свойства диаметра окружности 1. Диаметр, проведенный через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит дугу, стягиваемую ею, пoполам. 2. Диаметр проведенный через середину дуги, перпендикулярен к хорде, стягивающей эту дугу, и делит ее пополам.

1.Рассмотрим окружность с центром О. АВ = CD, Р – середина хорды АВ, Q - середина CD. 2.Рассмотрим ΔОАР и ΔOCQ (прямоугольные) : ОА = ОС – радиусы, PA = CQ – половины равных хорд 3.ΔОАР = ΔOCQ (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников OP = OQ (равные катеты),т.е. хорды равно удалены от центра

Случаи взаимного расположения прямой и окружности d rd > r rd > r"> rd > r"> rd > r" title="Случаи взаимного расположения прямой и окружности d rd > r"> title="Случаи взаимного расположения прямой и окружности d rd > r">

D

D>r Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. O d>r r r Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. O d>r r"> r Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. O d>r r"> r Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. O d>r r" title="d>r Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. O d>r r"> title="d>r Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. O d>r r">

Свойство касательной. Пусть прямая р касается окружности в точке А, т. е. А их единственная общая точка. Доказательство «от противного»: 1.Допустим, что р не перпендикулярна радиусу ОА. Проведем перпендикуляр ОВ на р. 2. Отложим на р отрезок ВС = ВА. 3. ОВА = ОВС (по двум катетам). Поэтому ОС = ОА. 4. С лежит на окружности. Следовательно, р и окружность имеют две общие точки, что невозможно. Итак, р ОА, что и требовалось

Возьмем любую точку А окружности F и проведем радиус ОА. Затем проведем прямую р, перпендикулярную радиусу ОА. Любая точка В прямой р, отличная от точки А, удалена от О больше чем на радиус, поскольку наклонная ОВ длиннее перпендикуляра ОА. Поэтому точка В не лежит на F. Значит, точка А единственная общая точка р и F, т. е. р касается F в точке А.

Различные случаи относительного положения двух окружностей. d>R+R 1d>R+R 1 d=R+R 1d=R+R 1 d R+R 1d>R+R 1 d=R+R 1d=R+R 1 d"> R+R 1d>R+R 1 d=R+R 1d=R+R 1 d"> R+R 1d>R+R 1 d=R+R 1d=R+R 1 d" title="Различные случаи относительного положения двух окружностей. d>R+R 1d>R+R 1 d=R+R 1d=R+R 1 d"> title="Различные случаи относительного положения двух окружностей. d>R+R 1d>R+R 1 d=R+R 1d=R+R 1 d">

1.Окружности лежат одна вне другой, не касаясь в этом случае, очевидно, d > R + R 1 R и R 1 - радиусы окружностей d - расстояние между центрами окружностей R + R 1 R и R 1 - радиусы окружностей d - расстояние между центрами окружностей"> R + R 1 R и R 1 - радиусы окружностей d - расстояние между центрами окружностей"> R + R 1 R и R 1 - радиусы окружностей d - расстояние между центрами окружностей" title="1.Окружности лежат одна вне другой, не касаясь в этом случае, очевидно, d > R + R 1 R и R 1 - радиусы окружностей d - расстояние между центрами окружностей"> title="1.Окружности лежат одна вне другой, не касаясь в этом случае, очевидно, d > R + R 1 R и R 1 - радиусы окружностей d - расстояние между центрами окружностей">

3. Окружности пересекаются тогда d

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь, тогда, очевидно, d

R + R 1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь. 2. Если d = R + R 1,то окружности касаются извне. 3. Если d R – R 1, то окружности пересекаются. 4. Если d = R – R 1, то окружности касаются из­нутри. 5." title="Обратные предложения 1. Если d > R + R 1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь. 2. Если d = R + R 1,то окружности касаются извне. 3. Если d R – R 1, то окружности пересекаются. 4. Если d = R – R 1, то окружности касаются из­нутри. 5." class="link_thumb"> 59 Обратные предложения 1. Если d > R + R 1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь. 2. Если d = R + R 1,то окружности касаются извне. 3. Если d R – R 1, то окружности пересекаются. 4. Если d = R – R 1, то окружности касаются из­нутри. 5. Если d R + R 1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь. 2. Если d = R + R 1,то окружности касаются извне. 3. Если d R – R 1, то окружности пересекаются. 4. Если d = R – R 1, то окружности касаются из­нутри. 5."> R + R 1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь. 2. Если d = R + R 1,то окружности касаются извне. 3. Если d R – R 1, то окружности пересекаются. 4. Если d = R – R 1, то окружности касаются из­нутри. 5. Если d R + R 1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь. 2. Если d = R + R 1,то окружности касаются извне. 3. Если d R – R 1, то окружности пересекаются. 4. Если d = R – R 1, то окружности касаются из­нутри. 5." title="Обратные предложения 1. Если d > R + R 1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь. 2. Если d = R + R 1,то окружности касаются извне. 3. Если d R – R 1, то окружности пересекаются. 4. Если d = R – R 1, то окружности касаются из­нутри. 5."> title="Обратные предложения 1. Если d > R + R 1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь. 2. Если d = R + R 1,то окружности касаются извне. 3. Если d R – R 1, то окружности пересекаются. 4. Если d = R – R 1, то окружности касаются из­нутри. 5.">

Дано: окружность с центром О, ABC - вписанный Доказать: ABC = ½ АС Доказательство: Рассмотрим случай, когда сторона ВС проходит через центр О 1.Дуга АС меньше полуокружности, AОC = АС (центральный) 2. Рассмотрим ΔАВО, АО = ОВ (радиусы). ΔАВО равнобедренный 1 = 2, AОC – внешний угол ΔАВО, AОC = = 2 1, следовательно ABC = ½ АС 1 2

Дано: окружность с центром О, ABC - вписанный Доказать: ABC = ½ АС Доказательство: Рассмотрим случай, когда центр О лежит внутри вписанного угла. 1. Дополнительное построение: диаметр BD 2. Луч ВО делит ABC на два угла 3.Луч ВО пересекает дугу АС в точке D 4. АС = AD + DC, следовательно ABD = ½ АD и DBC = ½ DС или ABD + DBC = ½ АD + ½ DС или ABC = ½ АС

Дано: окружность с центром О, ABC - вписанный Доказать: ABC = ½ АС Доказательство: Рассмотрим случай, когда центр О лежит вне вписанного угла. 1. Дополнительное построение: диаметр BD 2. Луч ВО не делит ABC на два угла 3.Луч ВО не пересекает дугу АС в точке D 4. АС = AD - CD, следовательно ABD = ½ АD и DBC = ½ DС или ABD - DBC = ½ АD - ½ DС или ABC = ½ АС

72

Доказательство. 1.Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки О А, О В и ОС. 2. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника ABC, то ОА = ОВ = ОС, Поэтому окружность с центром О радиуса О А проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC. Доказательство. 1. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. 2. Проведем из точки О перпендикуляры ОК. OL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА. 3. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK= OL = OM. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. 4. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности в точках К, L, M, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, OL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник ABC.

Урок математики в 5 классе

по теме «Окружность и круг».

• ©ГБОУ школа-интернат №1
• Учитель математики: Макарова Н.А.
• Санкт – Петербург, 2015 год.

Цели и задачи урока:

Обучающие:

• Обеспечить усвоение понятий окружности, круга и их элементов (радиуса, диаметра, хорды, дуги).
• Рассмотреть соотношение между диаметром и радиусом окружности.
• Познакомить с инструментом “циркуль”, научить чертить окружность с помощью циркуля.
• Учить находить общее и различное между окружностью и кругом; расширить кругозор учащихся.

Развивающие:

• Развитие логического мышления, внимания, творческих и познавательных способностей, воображения, умения анализировать, делать выводы.
• Формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей.
• Применение информационных технологий при изучении математики.

Воспитательные:

• Развитие трудолюбия, дисциплинированности, уважения к одноклассникам.
• Формирование интереса к математике.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, чертёжные инструменты.

Циркуль – это чертёжный инструмент. На одном конце у него - игла, на другом - карандаш.

С циркулем нужно работать осторожно!!!

1. Отметьте в тетради точку и назовите её буквой О.

2. Возьмите циркуль, раздвиньте «ножки» циркуля на расстояние 3 см.

3. Поставьте иголку циркуля в точку О, а другой «ножкой» циркуля проведите замкнутую линию.

Окружность – это замкнутая линия, состоящая из точек, которые одинаково удалены от центра.

Точка О –называется центром окружности

Отметим на окружности две точки А и М.

Отрезки ОА и ОМ – называются радиусами окружности.

Радиус окружности – это отрезок, который соединяет центр окружности и точку на окружности.

Соединим точки О и М, О и А.

Радиус обозначается

латинской буквой r.

Постройте в тетради две окружности с радиусом 2 см. Закрасьте внутреннюю область одной окружности.

ОКРУЖНОСТЬ – геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на одинаковом расстоянии центра окружности.

КРУГ – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся внутри окружности (включая саму окружность).

Окружность

Какие предметы имеют форму круга, а какие имеют форму окружности?

Продлите отрезок АО до пересечения с окружностью.

Обозначьте точку пересечения буквой К.

Отрезок АК – называется диаметром окружности.

Диаметр окружности – это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр.

Диаметр обозначается латинской буквой d.

Соедините точки

М и К, А и М.

Отрезки МК и АМ называются хордами окружности.

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Назовите все радиусы, диаметры и хорды окружности.

Нарисуйте окружность с центром в точке О.

Отметьте на окружности две точки А и В.

Точки А и В разделили окружность на две части, которые называются дугами окружности.

Дуга окружности – это часть окружности

между точками А и В.

Назовите все дуги на окружности:

Назовите точки,

лежащие на окружности.

Назовите точки,

не лежащие на окружности.

Назовите точки,

лежащие на круге.

Вариант 1

А1. Как называется отрезок АВ на чертеже №1?

1) диаметр окружности

2) радиус окружности

3) хорда окружности

А2. Выберите верное продолжение высказывания:

Радиус окружности – это отрезок, который…

А3. Может ли окружность имеет два диаметра разной длины?

2) не может

3) затрудняют ответить

Вариант 2

А1. Как называется отрезок АВ на чертеже №2?

1) хорда окружности

2) диаметр окружности

3) радиус окружности

А2. Выберите верное предложение высказывания:

Диаметр окружности – это отрезок, который…

1) соединяет две любые точки окружности

2) соединяет центр окружности с любой точкой окружности

3) соединяет две точки окружности и проходит через центр окружности

А3. Может ли окружность иметь два радиуса разной длины?

2) не может

3) затрудняюсь ответить

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Назовите фигуры К Е Т С В А Х

На сколько частей делят плоскость фигуры:

Окружность и круг Окружность – замкнутая линия Круг – плоскость, которая лежит внутри окружности, вместе с окружностью

Окружность Окружность делит плоскость на две части!

Построение О 1) Отмечаем точку О – центр окружности. 2)Задаем радиус окружности с помощью циркуля и линейки. 3) Ножку циркуля устанавливаем в точки О 4) Проводим окружность.

Все точки окружности удалены от ее центра. О – центр окружности и круга ОА = ОС = ОЕ – радиус – r АВ – диаметр - d АВ = ОА+ОВ d = 2r, r = d:2 О С А Е В Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой, лежащей на ней. Все радиусы окружности равны! Диаметр – отрезок, соединяющий две точки окружности, и проходящий через ее центр.

Диаметр делит окружность на две полуокружности, О С А В О С А В круг на два полукруга.

Дуга окружности СВ – дуга СВ, концы дуги – точки С и В. АС – дуга АС,концы дуги – точки А и С. АВ, ВЕ О С А Е В

Примеры окружности и круга в жизни

Номера для работы: На закрепление материла: № 850 (устно) № 851 № 853 № 855 На повторение: № 871(1) Самостоятельная работа: № 872(1)

Домашнее задание: п.22, № 874, № 876, № 878 (а,г,е)

№ 853 О А В r =3 см ОА= , ОА r

№ 855 С D АС = 3см, СВ = 3см D А = 4см, В D =4см B A

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Образ круга и его роль в рассказе В.Набокова «Круг»

"9 кругов ада по Данте" Путеводитель по кругам ада из «Божественной комедии» Данте Алигьери.

«Божественная комедия» (итал. La Commedia, позже La Divina Commedia) - поэма, написанная Данте Алигьери в период с 1307 по 1321 годы и дающая наиболее широкий синтез средневековой культ...