Olgu G rühm, X hulk ja f: G × X → X

- ekraan. Tähistame f(g, x) gx-ga. Me ütleme, et G toiming X-le on antud (või G toimib X-le), kui (gh)x = g(hx) ja ex = x kõigi g, h G, x X korral. Sel juhul on hulk X nimetatakse G-komplektiks.

kommenteerida. Täpsemalt nimetatakse teatud tegevust vasakule. Õige toimingu jaoks võetakse arvesse vastendust f: X × G → X, võetakse kasutusele tähis f(x, g) = xg ning nõutavad on järgmised tingimused: x(gh) = (xg)h ja xe = x . On selge, et kõik allpool vasakpoolse toimingu kohta öeldu kehtib (asjakohaste muudatustega) ka parempoolse toimingu kohta. Veelgi enam, pange tähele, et valem xg = g−1 x loob üks-ühele vastavuse G vasak- ja parempoolsete tegevuste vahel X-s (st jämedalt öeldes on rühmade vasak- ja parempoolsed tegevused "sama asi"). Õige tegevus ilmneb loomulikult 10. peatükis.

Alamhulka Y X nimetatakse G-alamhulgaks, kui GY Y (st gy Y kõigi g G, y Y korral).

G-hulga X alamhulka kujul O(x) = (gx | g G) nimetatakse X-i elemendi x orbiidiks. Orbiidid langevad kokku minimaalsete G-alahulkadega X-is. sama orbiit” on X-i ekvivalentsuhe, seega moodustavad orbiidid partitsioonikomplekti X.

Fikseeritud x X korral moodustavad elemendid g G nii, et gx = x G-s alamrühma, mida nimetatakse stabiilseks

Lyzer (või statsionaarne alarühm ) elemendist x ja seda tähistatakse St(x).

Orbiidid ja stabilisaatorid on omavahel seotud:

Ettepanek 7.1 |O(x)| = mis tahes x X jaoks.

Näide. Olgu X = G ja G mõjub X-le konjugatsiooni teel, st (g, x) 7→gxg−1. Selle toimingu all olevat orbiiti nimetatakse

konjugeeritud elementide klass , ja stabilisaator St(x) – tsentraliseerija element x (tähis – C G(x)). Ilmselgelt C G (x) = (a G | ax = xa). Veelgi enam, kui rühm G on lõplik, siis

			CG(x)

kus liitmine x jookseb läbi konjugeeritud elementide klasside esindajate hulga (st igast klassist võetakse üks element).

Seda toimingut kasutades saab tõestada

Teoreem 7.2 (Cauchy teoreem) Kui rühma G järjekord jagub algarvuga p, siis G-s eksisteerib element järku p.

7.1. Määrake rühma G tegevuse kahe järgmise definitsiooni samaväärsus hulgal X:

1) G toiming X-le on vastendamine G×X → X, (g, x) 7→gx nii, et (g 1 g2 )x = g1 (g2 x) ja ex = x kõigi g1 , g2 G, x X jaoks.

2) G toime X-le on homomorfism G → S(X) (kus S(X)

– X-i kõigi bijektside rühm iseendale).

7.2. Tõesta, et kui O(x) = O(y), siis St(x) on konjugeeritud St(y). Kas vastupidi?

7.3. Kirjeldage järgmiste objektide orbiite ja stabilisaatoreid:

1) G mõju iseendale vasakpoolsete nihketega (st (g, x) 7→gx);

2) G mõju iseendale paremale nihkega (st (g, x) 7→xg).−1 );

3) H mõju G-le vasakule (vastavalt paremale) nihkega, kus H< G;

x X St(x).

4) G toime konjugatsioonide abil tema alarühmade hulgale (st (g, H) 7 → gHg−1 );

5) G tegevus parempoolsete kosettide G/H hulgal, kus H< G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6) Mittedegenereerunud lineaaroperaatorite rühma G = GL(V) loomulik toime lineaarruumis V: a) V, b) V × V, c) kõigi V lineaarsete alamruumide hulgale;

7) Ortogonaalsete lineaaroperaatorite rühma G = O(V) loomulik toime eukleidilises ruumis V: a) V , b)

8) G = hσi – tsükliline alarühm S-s n, X = (1, 2, . . . , n).

7.4.* Rühma G tegevuste isomorfism hulkadel X ja Y on bijektsioon f: X → Y, nii et f(gx) = gf(x) kõigi g G, x X korral. nimetatakse transitiivseks, kui kõigi x, y X jaoks on olemas g G, nii et y = gx (st X

on selle tegevuse ainus orbiit). Tõesta, et G iga transitiivne toime X-le on isomorfne G/H-le vastava alamrühma H korral. Millal on G toimed G/H1 ja G/H2 isomorfsed?

7.5. Leidke rühma G loomuliku toime automorfismide rühm hulgal G/H.

7.6. Tõesta, et lõpliku rühma konjugeeritud elementide klasside järgud jagavad selle järgu.

7 .7 .* Tõesta, et lõpliku p-rühma kese on mittetriviaalne.

7 .8 .* Tõesta, et kui |G| = p2, siis G on Abeli ​​(st G on isomorfne Z(p2) või Z(p) × Z(p) suhtes).

7 .9 .* Tõesta, et kui G ei ole Abeli ​​ja |G| = p3 , siis |C(G)| = lk.

7.10. G tegevuse tuum X-le on vastava homomorfismi G → S(X) tuum.

a) Kontrollige, et G tegevuse tuum X-l on võrdne b) Leia G tegevuse tuum G/H-s, kus H< G.

7.11.* Olgu H< G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует нормальный делитель N конечного индекса, содержащийся в H, причем делит m! и делится на m.

Regulaarsete hulktahukate sümmeetriarühmad

Määrame O(3) := (A GL(3, R) | A = E juures), SO(3) := O(3) ∩

SL(3, R). Olgu M R3. Pöörlemisrühm M on

Grot (M) = (gSO(3) | gM = M);

sümmeetriarühm M on

Gsym (M) = (g O(3) | gM = M)

(st Grot (M) = Gsym (M) ∩ SO (3)).

7.12. Tõesta, et O(3) SO(3) × Z(2).

7 .13 .* Leia |Grot (M)| ja |Gsym (M)| iga korrapärase hulktahuka (tetraeedri, kuubi, oktaeedri, dodekaeedri, ikosaeedri) jaoks. Siin ja allpool eeldatakse, et M on sisseehitatud R3-sse nii, et selle kese ühtib alguspunktiga.

7 .16 .* Olgu M kuup või oktaeedr. Tõesta, et Grot (M) S4 .

7 .17 .* Olgu M ikosaeeder või dodekaeeder. Tõesta seda

Grot (M) A5.

Rühm G toimib (vasakult) hulgale X, kui mis tahes elementide g ja x X jaoks on defineeritud element gx X ning g2(g1x) = (g2 g1)x ja ex = x kõigi x X, g1, g2 G. Komplekt

Gx = (gx | g G)

nimetatakse elemendi x orbiidiks. Kahe X-st pärit elemendi orbiidid kas langevad kokku või ei ristu, seega jagatakse hulk X disjunktiivseteks orbiitideks. Kui on üks orbiit - kogu hulk X, siis öeldakse, et C toimib transitiivselt X-le. Teisisõnu, rühm G toimib transitiivselt hulgale X, kui mis tahes kahe elemendi x, x" jaoks on X-st element g G-st nii, et gx = x".

X elemendi x stabilisaator on alamrühm

StG(x)= (g G | gх = x).

Elemendi g fikseeritud punktide hulk G-s on hulk

Fiх(g) = (x X | gх = x).

Orbiidi võimsus on võrdne stabilisaatori indeksiga rühmas G.

Olgu K fikseeritud kuup kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis, G rühm selle ruumi kõiki liikumisi, mis säilitavad orientatsiooni ja muudavad K K-ks. Rühmas G on identne liikumine, pöörded 120° ja 240° ümber nelja teljed, mis läbivad vastastippude kuubi, pööramine 180° ümber telgede, mis läbivad vastasservade keskpunkte, ja pööramine 90°, 180° ja 270° ümber telgede, mis läbivad vastaskülgede keskpunkte. Seega leidsime rühmas G 24 elementi. Näitame, et G-s pole muid elemente. Rühm G toimib kuubiku K tippude hulgal K0 transitiivselt, kuna suvalised kaks tippu K-st võivad olla "ühendatavad naaberahelaga" ja naaberpunktid saab sobiva pööramise teel teisendada üksteiseks. X-tipu stabilisaator peab ka sellest kõige kaugemal asuva x-tipu paigale jätma. Seetõttu koosneb see identsest liikumisest ja pööretest ümber xx-telje 120° ja 240° võrra. Seetõttu |G| = |K°| * || = 8 * 3 = 24 ja seetõttu moodustavad kõik ülaltoodud pöörded rühma G.

Rühma G nimetatakse kuubi pöörlemisrühmaks. Tõestame, et pöörded G-st paigutavad ümber kuubi neli pikimat diagonaali. Tekib homomorfism: c: G > . Selle homomorfismi tuum on võrdne (e), kuna ainult identne liikumine jätab iga kuubi diagonaali oma kohale. Seetõttu on G isomorfne rühma alarühma suhtes. Nende rühmade järjestusi võrreldes leiame, et G .

Sümmeetria rühmad

Üks sagedamini kasutatavaid rühmade ja eriti permutatsioonirühmade näiteid on rühmad, mis "mõõtvad" geomeetriliste kujundite, nii lamedate kui ka ruumiliste kujundite sümmeetriat.

Tetraeedri sümmeetriate rühm.

Tetraeedril (joonis 1) on 4 3. järku sümmeetriatelge l1, l2, l3, l4, mis läbivad selle tippe 1, 2, 3, 4 ja vastandtahkude keskpunkte. Iga telje ümber on lisaks identsele teljele võimalik veel kaks pööret. Need vastavad järgmistele permutatsioonidele:

ümber l1 telje

ümber l2 telje

ümber l3 telje

ümber l4 telje

Lisaks on 3 2. järku sümmeetriatelge, mis läbivad ristumisservade keskpunkte A, B, C, D, E, F. Seetõttu on veel 3 (vastavalt ristuvate servade paaride arvule) mitteidentset teisendust, mis vastavad permutatsioonidele:

ümber AB-telje,

ümber CD telje,

ümber EF-telje.

Seega saame koos identiteedi teisendusega 12 permutatsiooni. Nende teisenduste all tetraeeder joondub ise, pöörledes ruumis; selle punktid ei muuda oma asukohta üksteise suhtes. Välja kirjutatud 12 permutatsiooni komplekt on korrutamisel suletud, kuna tetraeedri järjestikused pöörlemised on jällegi pöörlemised. Seega saame rühma, mida nimetatakse tetraeedri pöörlemisrühmaks.

Teiste ruumiteisenduste ajal, mis on tetraeedri isejoondumised, liiguvad tetraeedri sisepunktid üksteise suhtes. Nimelt: tetraeedril on 6 sümmeetriatasandit, millest igaüks läbib ühe selle serva ja vastasserva keskosa. Järgmised transpositsioonid tetraeedri tippude komplektis vastavad nende tasandite sümmeetriatele:

Ainuüksi nende andmete põhjal võib väita, et tetraeedri kõigi võimalike sümmeetriate rühm koosneb 24 teisendusest. Tegelikult peab iga sümmeetria, mis joondab tetraeedrit tervikuna, oma tipud, servad ja tahud kuidagi ümber korraldama. Eelkõige saab sel juhul sümmeetriaid iseloomustada tetraeedri tippude permutatsioonidega. Kuna tetraeedril on 4 tippu, ei saa selle sümmeetriarühm koosneda rohkem kui 24 teisendusest. Teisisõnu, see kas langeb kokku sümmeetrilise rühmaga S4 või on selle alamrühm. Tetraeedri sümmeetriad ülalkirjeldatud tasandite suhtes määravad kõik võimalikud transpositsioonid selle tippude hulgas. Kuna need transpositsioonid loovad sümmeetrilise rühma S4, saame vajaliku. Seega määrab tetraeedri tippude mis tahes permutatsiooni selle osa sümmeetriast. Seda ei saa aga öelda tetraeedri servade meelevaldse ümberpaigutamise kohta. Kui nõustume tähistama tetraeedri iga serva sama tähega kui selle keskpunkti, siis näiteks servade hulga permutatsioonid

vastavad vastavalt kahele pöördele ümber l1-telje ja pöördele ümber AB-telje. Olles kõigi sümmeetriateisenduste jaoks hulgale (A, B. C, D, E, F) välja kirjutanud permutatsioonid, saame sümmeetrilise rühma S6 teatud alarühma, mis koosneb 24 permutatsioonist. Tetraeedri tippude permutatsioonide rühm ja selle servade permutatsioonide rühm on erinevad permutatsioonide rühmad, kuna need toimivad erinevatel kogumitel. Kuid nende taga on "nähtav" üks ja sama rühm - ruumimuutuste rühm, mis jätab tetraeedri paigale.

Kuubi sümmeetriate rühm. Kuubi sümmeetriad, nagu ka tetraeedri sümmeetriad, jagunevad kahte tüüpi - isejoondumine, mille puhul kuubi punktid ei muuda oma asukohta üksteise suhtes ja teisendused, mis jätavad kuubi tervikuna. paigas, kuid liigutage selle punkte üksteise suhtes. Esimest tüüpi teisendusi nimetatakse rotatsioonideks. Kõik pöörded moodustavad rühma, mida nimetatakse kuubi pööramise rühmaks.

Kuubikul on täpselt 24 pööret ümber erinevate sümmeetriatelgede.

Tegelikult võib kuubi pööramisel alumise külje koha võtta ükskõik milline kuubi kuuest tahust (joonis 2). Iga kuue võimaluse jaoks - kui on näidatud, milline tahk asub allosas - on kuubikul 4 erinevat paigutust, mis vastavad selle pöörlemisele ümber telje, mis läbib ülemise ja alumise külje keskpunkte, nurga all 0, p/2, p, 3p/ 2. Seega saame 6×4 = 24 kuubi pööret. Toome need selgelt välja.

Kuubil on sümmeetriakese (selle diagonaalide lõikepunkt), 3 neljandat järku sümmeetriatelge, 4 kolmandat järku sümmeetriatelge ja 6 teist järku sümmeetriatelge. Piisab, kui arvestada pöördeid ümber sümmeetriatelgede.

a) Neljandat järku sümmeetriateljed on teljed, mis läbivad vastaskülgede keskpunkte. Iga nende telgede ümber on kolm mitteidentset pööret, nimelt pöörded läbi nurkade p/2, p, 3p/2. Need pöörded vastavad kuubi tippude 9 permutatsioonile, milles vastaskülgede tipud on tsükliliselt ja järjepidevalt ümber paigutatud. Näiteks permutatsioonid

reageerida pöörlemisele ümber telje

b) Kolmandat järku sümmeetriateljed on kuubi diagonaalid. Iga nelja diagonaali , , , ümber on kaks mitteidentset pööret nurkadega 2p/3, 4p/3. Näiteks pöörded ümber diagonaali määravad järgmised kuubi tippude permutatsioonid:

Kokku saame 8 sellist keerutamist.

c) Teist järku sümmeetriatelgedeks on sirgjooned, mis ühendavad kuubi vastasservade keskpunkte. Vastasservi on kuus paari (näiteks , ), iga paar määratleb ühe sümmeetriatelje, st saame 6 teist järku sümmeetriatelge. Iga selle telje ümber toimub üks mitteidentne pööre. Kokku on 6 keerutust. Koos identse teisendusega saame 9+8+6+1=24 erinevat pööret. Kõik kuubi pöörded on näidatud. Kuubi pöörded määravad permutatsioonid selle tippude, servade, tahkude ja diagonaalide hulgal. Vaatleme, kuidas kuubi pöörete rühm mõjub selle diagonaalide hulgale. Kuubi erinevad pöörded paigutavad kuubi diagonaale erinevalt ümber, see tähendab, et need vastavad diagonaalide hulga erinevatele permutatsioonidele. Seetõttu määratleb kuubi pöörete rühm diagonaalide hulgal permutatsioonide rühma, mis koosneb 24 permutatsioonist. Kuna kuubil on ainult 4 diagonaali, langeb kõigi selliste permutatsioonide rühm kokku diagonaalide hulga sümmeetrilise rühmaga. Niisiis, iga kuubi diagonaalide permutatsioon vastab mõnele selle pöörlemisele ja erinevad permutatsioonid vastavad erinevatele pööretele.

Kirjeldame nüüd kogu kuubi sümmeetriate rühma. Kuubil on kolm selle keskpunkti läbivat sümmeetriatasandit. Nende tasapindade sümmeetria koos kõigi kuubi pööretega annab meile veel 24 teisendust, mis on kuubi isejoondumine. Seetõttu koosneb kuubi täielik sümmeetriarühm 48 teisendusest.

Oktaeedri sümmeetriarühm. Viie korrapärase hulktahuka oktaedrodiin. Seda saab saada, ühendades kuubi tahkude keskpunktid ja võttes arvesse keha, mis on piiratud tasapindadega, mis on määratletud külgnevate tahkude sirgjoonte ühendamisega (joonis 3). Seetõttu on iga kuubi sümmeetria samaaegselt ka oktaeedri sümmeetria ja vastupidi. Seega on oktaeedri sümmeetriarühm sama, mis kuubi sümmeetriarühm ja koosneb 48 teisendusest.

Korrapärase hulktahuka sümmeetriarühm koosneb 2l teisendustest, kus l on selle tasapinna nurkade arv. See väide kehtib kõigi tavaliste hulktahukate kohta, seda saab tõestada üldkujul ilma polüheedrite kõiki sümmeetriaid leidmata.

Klõpsates nupul "Laadi arhiiv alla", laadite teile vajaliku faili täiesti tasuta alla.
Enne selle faili allalaadimist mõelge nendele headele esseedele, testidele, kursusetöödele, väitekirjadele, artiklitele ja muudele dokumentidele, mis on teie arvutis nõudmata. See on teie töö, see peaks osalema ühiskonna arengus ja tooma inimestele. Otsige üles need tööd ja esitage need teadmistebaasi.
Oleme teile väga tänulikud meie ja kõik üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös.

Dokumendiga arhiivi allalaadimiseks sisestage allolevale väljale viiekohaline number ja klõpsake nuppu "Laadi arhiiv alla"

Sarnased dokumendid

Kaasaegse abstraktse rühmade kontseptsiooni väljatöötamine. Lõplike nilpotentsete rühmade lihtsaimad omadused. Lõpliku rühma Frattini alamrühm on nilpotentne. Nilpotentsete rühmade otsekorrutise leidmine. Kahendalgebraline tehe hulgal.

kursusetöö, lisatud 21.09.2013


Burnside'i lemma rakendamine kombinatoorsete ülesannete lahendamisel. Permutatsioonirühma orbiidid. Permutatsioonirühma orbiidi pikkus. Burnside'i Lemma. Kombinatoorsed probleemid. "Sõelumismeetod". Kaasamise ja välistamise valem.

lõputöö, lisatud 14.06.2007


Teguritava rühma lahendatavus lagundatavate teguritega. Lõplike rühmade omadused, mis on kahe rühma korrutis, millest üks on Schmidti rühm, teine ​​on 2-lagunev. Kaheprimaarsete ja 2-lagunevate rühmade produkt. Teoreemide ja lemmade tõestus.

kursusetöö, lisatud 22.09.2009


Rühmateooria olemus. Selle mõiste roll matemaatikas. Salvestustehte mitmekordne vorm, rühmade näited. Alarühma olemuse sõnastamine. Rühmade homomorfismid. Täielikud ja spetsiaalsed lineaarsed maatriksrühmad. Väikeste mõõtmetega klassikalised rühmad.

kursusetöö, lisatud 03.06.2014


Kompleksarvu tõstmine astmeks. Binaaralgebraline tehe. Kompleksarvude geomeetriline tõlgendamine. Vektorite süsteemi alus-, järk- ja lineaarkombinatsioonid. Polünoomi mitu juurt. Polünoomi lagundamine elementaarmurdudeks.

test, lisatud 25.03.2014


Esimesed mainimised tavalistest hulktahukatest. Polüheedrite klassifikatsioon, nende tüübid, omadused, teoreemid kumerate hulktahukate arengute kohta (Cauchy ja Aleksandrov). Regulaarsete hulktahukate mudelite loomine arenduste ja origami meetodite abil.

kursusetöö, lisatud 18.01.2011


Peegelduvate ja pöörlevate telgsümmeetriate mõiste eukleidilises geomeetrias ja loodusteadustes. Telgsümmeetria näideteks on liblikas, lumehelves, Eiffeli torn, paleed ja nõgeseleht. Peegli peegeldus, radiaalne, aksiaalne ja radiaalne sümmeetria.

esitlus, lisatud 17.12.2013