ระบบรับโฟลว์ปัวซองของคำขอที่มีความเข้มข้น γ โฟลว์บริการมีความเข้มข้น μ จำนวนตำแหน่งสูงสุดในคิวคือ ต.หากแอปพลิเคชันเข้าสู่ระบบเมื่อทุกตำแหน่งในคิวถูกครอบครอง จะทำให้ระบบไม่สามารถใช้งานได้
ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะของระบบดังกล่าวนั้นมีอยู่เสมอ เนื่องจากจำนวนสถานะนั้นมีจำกัด:
S 0 - ระบบว่างและอยู่ในสถานะไม่ได้ใช้งาน
S 1 – มีการให้บริการหนึ่งคำขอ ช่องไม่ว่าง ไม่มีคิว
S 2 – แอปพลิเคชันหนึ่งกำลังให้บริการ อีกหนึ่งแอปพลิเคชันอยู่ในคิว;
ส ม +1 - ให้บริการหนึ่งแอปพลิเคชัน ตคิว.
กราฟสถานะของระบบดังกล่าวแสดงในรูปที่ 5:
ส 0 ส 1 ส 2 ส ม.+1
μ μ μ ………. μ μ
รูปที่ 5: QS ช่องทางเดียวที่มีคิวจำกัด
ในสูตรสำหรับ ร 0 มาหาผลรวมของเงื่อนไขจำนวนจำกัดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
(52)
เมื่อคำนึงถึงสูตรสำหรับ ρ เราได้นิพจน์:
ในวงเล็บมีองค์ประกอบ (m+2) ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีเทอมแรก 1 และตัวส่วน ρ การใช้สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไข (m+2) ของความก้าวหน้า:
(54)
(55)
สูตรความน่าจะเป็นของการจำกัดสถานะจะมีลักษณะดังนี้:
ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการให้บริการเรากำหนดคำขอเป็นความน่าจะเป็นที่เมื่อคำขอมาถึงระบบ ช่องสัญญาณจะไม่ว่างและสถานที่ทั้งหมดในคิวจะถูกครอบครองด้วย:
(57)
ดังนั้นความน่าจะเป็นของการบริการ(และจาก. แบนด์วิธของผู้ให้บริการ) เท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม:
ปริมาณงานที่แน่นอน– จำนวนแอปพลิเคชันที่ให้บริการโดยระบบต่อหน่วยเวลา:
(59)
จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยภายใต้บริการ:
(60)
(61)
จำนวนการใช้งานเฉลี่ยในระบบ:
(62)
QS ช่องทางเดียวที่มีคิวที่จำกัดสามารถพิจารณาได้ใน Mathcad
ตัวอย่าง:
ที่จอดรถให้บริการได้ 3 คัน อัตราการไหล 0.5 และระยะเวลาให้บริการเฉลี่ย 2.5 นาที กำหนดตัวบ่งชี้ระบบทั้งหมด
6 smo หลายช่องพร้อมคิวไม่จำกัด
ปล่อยให้ระบบ S ได้รับการมี ปช่องทางบริการที่รับกระแสคำขอที่ง่ายที่สุดด้วยความเข้มข้น γ ปล่อยให้การไหลของบริการนั้นง่ายที่สุดและมีความเข้มข้นμ คิวเข้ารับบริการไม่จำกัด
ตามจำนวนแอปพลิเคชันในระบบเราแสดงถึงสถานะของระบบ: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n โดยที่ S k – สถานะของระบบเมื่อมีคำขอ k รายการ (จำนวนคำขอสูงสุดภายใต้บริการคือ n) กราฟสถานะของระบบดังกล่าวแสดงเป็นแผนภาพในรูปที่ 6:
λ λ λ λ λ λ λ
……. …….
ส 0 ส 1 ส 2 ส ม.+1 ส
ไมโคร 2ไมโคร 3ไมโคร ………. kμ (k+1)μ …… nμnμ
รูปที่ 6: QS หลายช่องทางพร้อมคิวไม่จำกัด
ความเข้มของการไหลของบริการจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับสถานะของระบบ: kμ เมื่อเปลี่ยนจากสถานะ S k เข้าสู่สถานะ S k -1 ตั้งแต่ใดๆ ของ k ช่อง; หลังจากที่ทุกช่องทางยุ่งกับการบริการ ความเข้มของการไหลของบริการยังคงเท่าเดิม pμ,เมื่อได้รับใบสมัครครั้งต่อไปเข้าสู่ระบบแล้ว
เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะ เราได้รับสูตรที่คล้ายกับวิธีการทำสำหรับระบบช่องสัญญาณเดียว
(63)
ดังนั้นสูตรสำหรับความน่าจะเป็นสุดท้ายจึงแสดงออกมาผ่าน
การค้นหา ร 0 เราได้รับสมการ:
สำหรับพจน์ในวงเล็บ เริ่มต้นด้วย (n+ 2)th คุณสามารถใช้สูตรในการหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดกับเทอมแรก 
และตัวส่วน ρ/n:
(66)
ในที่สุด เราก็ได้สูตร Erlang เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นของการหยุดทำงานของระบบ:
(67)
ให้เรานำเสนอสูตรในการคำนวณตัวบ่งชี้หลักของประสิทธิภาพของระบบ
ระบบจะรับมือกับกระแสการใช้งานหาก
ปฏิบัติตามเงื่อนไข
,
(68)
ซึ่งหมายความว่าจำนวนแอปพลิเคชันที่ระบบได้รับต่อหน่วยเวลาจะต้องไม่เกินจำนวนแอปพลิเคชันที่ระบบให้บริการในช่วงเวลาเดียวกัน โดยที่ ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการให้บริการเท่ากับศูนย์
จากที่นี่ ความน่าจะเป็นของการบริการ(และนอกจากนี้ยังมี ปริมาณงานสัมพัทธ์ระบบ) เท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม นั่นคือ เอกภาพ:
(69)
แน่นอนปริมาณงาน- จำนวนแอปพลิเคชันที่ให้บริการโดยระบบต่อหน่วยเวลา:
(70)
หากระบบจัดการกับคำขอให้อยู่ในโหมดนิ่ง ความเข้มของการไหลออกเท่ากับความเข้มข้นของการไหลของแอปพลิเคชันเข้าสู่ระบบ เนื่องจากแอปพลิเคชันทั้งหมดได้รับการบริการ:
ν=λ . (71)
เนื่องจากแต่ละช่องให้บริการคำขอ μ ต่อหน่วยเวลา ดังนั้น จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ยสามารถคำนวณได้:
(72)
เฉลี่ยเวลาบริการช่องทางหนึ่งคำขอ ;
.
(73)
ความน่าจะเป็นที่แอปพลิเคชันจะอยู่ในคิวเมื่อเข้าสู่ระบบเท่ากับความน่าจะเป็นที่มีมากกว่า ปการใช้งาน:
(74)
จำนวนแอปพลิเคชันที่ให้บริการเท่ากับจำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่าง:
(75)
จำนวนใบสมัครโดยเฉลี่ยในคิว:
(76)
แล้ว เฉลี่ยตัวเลขการใช้งานในระบบ:
(77)
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในระบบ (อยู่ในคิว):
(78)
(79)
QS หลายช่องทางที่มีคิวไม่จำกัดสามารถพิจารณาได้ในระบบ Mathcad
ตัวอย่างที่ 1:
ร้านทำผมมีช่างทำผม 5 คน ในช่วงชั่วโมงเร่งด่วน ปริมาณลูกค้าจะอยู่ที่ 6 คน เวลาบ่ายโมง ให้บริการลูกค้ารายหนึ่งใช้เวลาประมาณ 40 นาทีโดยเฉลี่ย กำหนดความยาวคิวโดยเฉลี่ย โดยถือว่าไม่จำกัด
ส่วนของการแก้ปัญหาใน Mathcad
ตัวอย่างที่ 2:
ห้องจำหน่ายตั๋วรถไฟมีหน้าต่าง 2 บาน เวลาให้บริการผู้โดยสารหนึ่งคนคือ 0.5 นาที ผู้โดยสารเข้าใกล้เคาน์เตอร์จำหน่ายตั๋วเป็นกลุ่ม 3 คน กำหนดคุณลักษณะทั้งหมดของระบบ
ส่วนของการแก้ปัญหาใน Mathcad
แก้ไขปัญหาอย่างต่อเนื่องใน Mathcad
หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษาแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย
FGOU SPO "วิทยาลัยการก่อสร้าง Perevozsky"
งานหลักสูตร
ในสาขาวิชา "วิธีทางคณิตศาสตร์"
ในหัวข้อ “SMO ที่มีระยะเวลารอคอยจำกัด ปิด QS"
การแนะนำ................................................. ....... ........................................... ............ ....... 2
1. พื้นฐานของทฤษฎีการเข้าคิว............................................ ................ ...... 3
1.1 แนวคิดของกระบวนการสุ่ม................................................ ................ .................... 3
1.2 กระบวนการสุ่มมาร์กอฟ............................................ ...... ................ 4
1.3 สตรีมกิจกรรม............................................ .................................................... .................... 6
1.4 สมการโคลโมโกรอฟสำหรับความน่าจะเป็นของรัฐ ความน่าจะเป็นในสถานะสุดท้าย................................................ ............... ................................... ...................... ........ 9
1.5 ปัญหาทฤษฎีการเข้าคิว................................................. ....... .. 13
1.6 การแบ่งประเภทของระบบคิว................................................. ..... 15
2. ระบบการจัดคิวด้วยการรอ............................................ ........ 16
2.1 QS ช่องทางเดียวที่มีการรอคอย.............................................. .......... .......... 16
2.2 QS หลายช่องทางพร้อมการรอคอย.............................................. ........... ......... 25
3. ปิด QS................................................. ...... ................................................ ... 37
แนวทางแก้ไขปัญหา.............................. ... ........................................... 45
บทสรุป................................................. ................................................ ...... 50
บรรณานุกรม................................................ . .................................... 51
ในหลักสูตรนี้เราจะดูระบบการเข้าคิว (QS) และเครือข่ายการเข้าคิว (Queuing) ต่างๆ
ระบบคิว (QS) เข้าใจว่าเป็นระบบไดนามิกที่ออกแบบมาเพื่อให้บริการการไหลของคำขอ (ข้อกำหนดด้านบริการ) อย่างมีประสิทธิภาพภายใต้ข้อจำกัดด้านทรัพยากรระบบ
แบบจำลอง QS สะดวกสำหรับการอธิบายระบบย่อยแต่ละระบบของระบบคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ เช่น ระบบย่อยของโปรเซสเซอร์ - หน่วยความจำหลัก ช่องสัญญาณอินพุต - เอาท์พุต ฯลฯ ระบบคอมพิวเตอร์โดยรวมคือชุดของระบบย่อยที่เชื่อมต่อถึงกัน ซึ่งมีปฏิสัมพันธ์ที่น่าจะเป็นไปได้ แอปพลิเคชันสำหรับแก้ไขปัญหาบางอย่างที่เข้าสู่ระบบคอมพิวเตอร์ต้องผ่านลำดับขั้นตอนของการนับ การเข้าถึงอุปกรณ์จัดเก็บข้อมูลภายนอก และอุปกรณ์อินพุต-เอาท์พุต หลังจากเสร็จสิ้นลำดับขั้นตอนดังกล่าว จำนวนและระยะเวลาขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของโปรแกรม คำขอจะถือว่าได้รับการบริการและออกจากระบบคอมพิวเตอร์ ดังนั้น ระบบคอมพิวเตอร์โดยรวมสามารถแสดงด้วยชุด QS ซึ่งแต่ละชุดสะท้อนถึงกระบวนการทำงานของอุปกรณ์แต่ละเครื่องหรือกลุ่มของอุปกรณ์ที่คล้ายกันซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของระบบ
ชุดของ QS ที่เชื่อมต่อถึงกันเรียกว่าเครือข่ายการเข้าคิว (เครือข่ายสุ่ม)
ขั้นแรกเราจะดูพื้นฐานของทฤษฎี QS จากนั้นเราจะทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาโดยละเอียดเกี่ยวกับ QS ด้วยความคาดหวังและ QS แบบปิด หลักสูตรนี้ยังรวมถึงภาคปฏิบัติด้วย ซึ่งเราจะเรียนรู้โดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีประยุกต์ทฤษฎีในทางปฏิบัติ
ทฤษฎีการเข้าคิวเป็นหนึ่งในสาขาหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีนี้ถือว่า ความน่าจะเป็นปัญหาและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (ก่อนหน้านี้เราพิจารณาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดขึ้นเอง) เราขอเตือนคุณว่า:
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงกำหนดสะท้อนพฤติกรรมของวัตถุ (ระบบ กระบวนการ) จากมุมมอง มั่นใจเต็มที่ในปัจจุบันและอนาคต
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นคำนึงถึงอิทธิพลของปัจจัยสุ่มที่มีต่อพฤติกรรมของวัตถุ (ระบบ กระบวนการ) และดังนั้นจึงประเมินอนาคตจากมุมมองของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่าง
เหล่านั้น. ในที่นี้ เช่น ในการพิจารณาปัญหาทฤษฎีเกม ในเงื่อนไข ความไม่แน่นอน .
ก่อนอื่นให้เราพิจารณาแนวคิดบางประการที่แสดงถึง "ความไม่แน่นอนของการสุ่ม" เมื่อปัจจัยที่ไม่แน่นอนที่รวมอยู่ในปัญหาคือตัวแปรสุ่ม (หรือฟังก์ชันสุ่ม) ซึ่งเป็นลักษณะความน่าจะเป็นที่ทราบหรือหาได้จากประสบการณ์ ความไม่แน่นอนดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่า "เอื้ออำนวย" "ไม่เป็นพิษเป็นภัย"
พูดอย่างเคร่งครัด การรบกวนแบบสุ่มนั้นเกิดขึ้นได้ในทุกกระบวนการ การยกตัวอย่างกระบวนการสุ่มง่ายกว่ากระบวนการที่ "ไม่สุ่ม" ตัวอย่างเช่น กระบวนการเดินนาฬิกา (ดูเหมือนว่าจะเป็นงานที่ปรับเทียบอย่างเคร่งครัด - "ทำงานเหมือนนาฬิกา") อาจมีการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่ม (ก้าวไปข้างหน้า ล้าหลัง หยุด) แต่ตราบใดที่การรบกวนเหล่านี้ไม่มีนัยสำคัญและมีผลเพียงเล็กน้อยต่อพารามิเตอร์ที่เราสนใจ เราก็สามารถละเลยสิ่งเหล่านั้นและพิจารณาว่ากระบวนการนี้เป็นสิ่งที่กำหนดได้ ไม่ใช่แบบสุ่ม
ให้มันมีระบบบ้าง. ส(อุปกรณ์ทางเทคนิค กลุ่มของอุปกรณ์ดังกล่าว ระบบเทคโนโลยี - เครื่องจักร ไซต์งาน เวิร์กช็อป องค์กร อุตสาหกรรม ฯลฯ) ในระบบ สการรั่วไหล กระบวนการสุ่มถ้ามันเปลี่ยนสถานะเมื่อเวลาผ่านไป (ผ่านจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่ง) ยิ่งไปกว่านั้นในลักษณะสุ่มที่ไม่รู้จักก่อนหน้านี้
ตัวอย่าง:
1. ระบบ ส– ระบบเทคโนโลยี (ส่วนเครื่องจักร) เครื่องจักรพังเป็นครั้งคราวและได้รับการซ่อมแซม กระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบนี้เป็นแบบสุ่ม
2. ระบบ ส- เครื่องบินที่บินในระดับความสูงที่กำหนดตามเส้นทางเฉพาะ ปัจจัยที่รบกวน เช่น สภาพอากาศ ข้อผิดพลาดของลูกเรือ ฯลฯ ผลที่ตามมา - ความปั่นป่วน การละเมิดตารางการบิน ฯลฯ
กระบวนการสุ่มที่เกิดขึ้นในระบบเรียกว่า มาร์คอฟสกี้หากช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง ที 0 ลักษณะความน่าจะเป็นของกระบวนการในอนาคตขึ้นอยู่กับสถานะของกระบวนการในขณะนั้นเท่านั้น ที 0 และไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าระบบจะไปถึงสถานะนี้เมื่อใดและอย่างไร
ปล่อยให้ระบบอยู่ในสถานะที่แน่นอนในขณะนี้ t 0 ส 0 . เรารู้ถึงลักษณะของสถานะของระบบในปัจจุบันและทุกสิ่งที่เกิดขึ้นในระหว่างนั้น ที <ที 0 (ประวัติกระบวนการ) เราสามารถทำนาย (ทำนาย) อนาคตได้หรือไม่ เช่น จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อ ที >ที 0 ? ไม่แน่ชัด แต่ลักษณะความน่าจะเป็นของกระบวนการบางอย่างสามารถพบได้ในอนาคต เช่น ความน่าจะเป็นที่ระบบจะผ่านไประยะหนึ่ง สจะสามารถ ส 1 หรือจะยังคงอยู่ในสถานะ ส 0 ฯลฯ
ตัวอย่าง- ระบบ ส- กลุ่มเครื่องบินที่เข้าร่วมในการรบทางอากาศ อนุญาต x– จำนวนเครื่องบิน “สีแดง” ย– จำนวนเครื่องบิน “สีน้ำเงิน” โดยตามเวลา ที 0 จำนวนเครื่องบินที่รอดชีวิต (ไม่ถูกยิงตก) ตามลำดับ – x 0 , ย 0 . เราสนใจในความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลาหนึ่ง ความเหนือกว่าเชิงตัวเลขจะอยู่ข้าง "สีแดง" ความน่าจะเป็นนี้ขึ้นอยู่กับสถานะของระบบในขณะนั้น ที 0 และไม่ใช่ว่าเมื่อใดและในลำดับใดผู้ถูกยิงเสียชีวิตจนถึงขณะนั้น ที 0 เครื่องบิน
ในทางปฏิบัติ กระบวนการมาร์คอฟในรูปแบบบริสุทธิ์มักจะไม่พบ แต่มีกระบวนการที่สามารถละเลยอิทธิพลของ "ยุคก่อนประวัติศาสตร์" ได้ และเมื่อศึกษากระบวนการดังกล่าวสามารถใช้แบบจำลองมาร์คอฟได้ (ทฤษฎีการเข้าคิวไม่ได้พิจารณาระบบการเข้าคิวของมาร์คอฟ แต่เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายสิ่งเหล่านี้นั้นซับซ้อนกว่ามาก)
ในการวิจัยการดำเนินงาน กระบวนการสุ่มของ Markov ที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องและเวลาต่อเนื่องมีความสำคัญอย่างยิ่ง
กระบวนการนี้เรียกว่า กระบวนการของรัฐที่ไม่ต่อเนื่องถ้าเป็นไปได้ ส 1 , ส 2, ... สามารถกำหนดล่วงหน้าได้ และการเปลี่ยนแปลงของระบบจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งเกิดขึ้น "แบบก้าวกระโดด" เกือบจะในทันที
กระบวนการนี้เรียกว่า กระบวนการเวลาต่อเนื่องหากช่วงเวลาของการเปลี่ยนผ่านจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่งที่เป็นไปได้ไม่ได้รับการแก้ไขล่วงหน้า แต่มีความไม่แน่นอน เป็นแบบสุ่ม และสามารถเกิดขึ้นได้ตลอดเวลา
ตัวอย่าง- ระบบเทคโนโลยี (ส่วน) สประกอบด้วยเครื่องจักรสองเครื่อง ซึ่งแต่ละเครื่องสามารถล้มเหลว (ล้มเหลว) ในช่วงเวลาสุ่ม หลังจากนั้นการซ่อมแซมหน่วยจะเริ่มต้นทันที ซึ่งดำเนินต่อไปโดยไม่ทราบเวลาสุ่ม สถานะของระบบต่อไปนี้เป็นไปได้:
ส 0 - ทั้งสองเครื่องกำลังทำงาน
ส 1 - เครื่องแรกกำลังได้รับการซ่อมแซม เครื่องที่สองกำลังทำงาน
ส 2 - กำลังซ่อมแซมเครื่องที่สอง เครื่องแรกกำลังทำงาน
ส 3 - ทั้งสองเครื่องอยู่ระหว่างการซ่อมแซม
การเปลี่ยนแปลงระบบ สจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งเกิดขึ้นเกือบจะในทันทีในช่วงเวลาสุ่มเมื่อเครื่องจักรบางเครื่องล้มเหลวหรือการซ่อมแซมเสร็จสิ้น
เมื่อวิเคราะห์กระบวนการสุ่มที่มีสถานะแยกจะสะดวกในการใช้โครงร่างทางเรขาคณิต - กราฟสถานะ- จุดยอดของกราฟคือสถานะของระบบ ส่วนโค้งของกราฟคือการเปลี่ยนจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่งได้ สำหรับตัวอย่างของเรา กราฟสถานะจะแสดงในรูป 1.
ข้าว. 1. กราฟสถานะระบบ
บันทึก. การเปลี่ยนจากรัฐ ส 0 นิ้ว ส 3 ไม่ได้ระบุในรูปเพราะว่า สันนิษฐานว่าเครื่องจักรล้มเหลวโดยแยกจากกัน เราละเลยความเป็นไปได้ที่จะเกิดความล้มเหลวพร้อมกันของทั้งสองเครื่อง
สตรีมกิจกรรม– ลำดับของเหตุการณ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ตามมาในช่วงเวลาสุ่ม
ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ นี่คือการไหลของความล้มเหลวและการไหลของการบูรณะ ตัวอย่างอื่นๆ: กระแสการโทรที่ชุมสายโทรศัพท์ กระแสของลูกค้าในร้านค้า ฯลฯ
การไหลของเหตุการณ์สามารถแสดงเป็นภาพด้วยชุดของจุดบนแกนเวลา โอ ที- ข้าว. 2.
ข้าว. 2. รูปภาพการไหลของเหตุการณ์บนแกนเวลา
ตำแหน่งของแต่ละจุดจะเป็นแบบสุ่ม และจะมีการแสดงโฟลว์เพียงรายการเดียวเท่านั้น
ความเข้มของโฟลว์เหตุการณ์ ( ) คือจำนวนเหตุการณ์เฉลี่ยต่อหน่วยเวลา
มาดูคุณสมบัติบางอย่าง (ประเภท) ของสตรีมเหตุการณ์
กระแสของเหตุการณ์ที่เรียกว่า เครื่องเขียนหากลักษณะความน่าจะเป็นไม่ขึ้นอยู่กับเวลา
โดยเฉพาะความเข้มข้นของการไหลที่อยู่นิ่งจะคงที่ กระแสของเหตุการณ์ย่อมเกิดการควบแน่นหรือเกิดปรากฏการณ์ขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ แต่เหตุการณ์เหล่านี้ไม่ได้เกิดขึ้นเป็นประจำ และจำนวนเหตุการณ์โดยเฉลี่ยต่อหน่วยเวลาจะคงที่และไม่ขึ้นอยู่กับเวลา
กระแสของเหตุการณ์ที่เรียกว่า ไหลไปโดยไม่มีผลตามมาถ้าสำหรับสองส่วนของเวลาที่ไม่ทับซ้อนกันและ (ดูรูปที่ 2) จำนวนเหตุการณ์ที่ตกบนส่วนใดส่วนหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนเหตุการณ์ที่ตกบนอีกส่วนหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่หมายความว่าเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดโฟลว์ปรากฏขึ้น ณ จุดใดจุดหนึ่ง เป็นอิสระจากกันและต่างก็มีเหตุมาจากเหตุของมันเอง
กระแสของเหตุการณ์ที่เรียกว่า สามัญหากเหตุการณ์ปรากฏขึ้นทีละรายการและไม่ใช่เป็นกลุ่มหลายรายการพร้อมกัน
กระแสของเหตุการณ์ที่เรียกว่า ง่ายที่สุด (หรือปัวซองนิ่ง)ถ้ามันมีคุณสมบัติสามอย่างพร้อมกัน:
1) เครื่องเขียน;
2) สามัญ;
3) ไม่มีผลกระทบใดๆ
โฟลว์ที่ง่ายที่สุดมีคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุด มันมีบทบาทพิเศษเช่นเดียวกันกับกระแสต่างๆ เช่นเดียวกับกฎการกระจายแบบปกติในกฎการกระจายอื่นๆ กล่าวคือเมื่อซ้อนทับกระแสอิสระคงที่และธรรมดาจำนวนมากเพียงพอ (เปรียบเทียบกันในความเข้ม) จะได้กระแสที่ใกล้เคียงกับกระแสที่ง่ายที่สุด
สำหรับการไหลที่ง่ายที่สุดโดยมีช่วงความเข้มข้น ตระหว่างเหตุการณ์เพื่อนบ้านมีสิ่งที่เรียกว่า การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลมีความหนาแน่น:
พารามิเตอร์ของกฎเลขชี้กำลังอยู่ที่ไหน
สำหรับตัวแปรสุ่ม ตซึ่งมีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นส่วนกลับของพารามิเตอร์ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
เมื่อพิจารณากระบวนการมาร์คอฟที่มีสถานะแยกกันและเวลาต่อเนื่องกัน ถือว่าการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของระบบ สจากรัฐสู่รัฐเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของโฟลว์เหตุการณ์ธรรมดา (โฟลว์การโทร โฟลว์ความล้มเหลว โฟลว์การกู้คืน ฯลฯ) หากกระแสเหตุการณ์ทั้งหมดถ่ายโอนระบบ สจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งที่ง่ายที่สุด จากนั้น กระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบจะเป็นแบบมาร์โคเวียน
ดังนั้น ระบบในสถานะจึงได้รับผลกระทบจากโฟลว์ของเหตุการณ์ธรรมดาๆ ทันทีที่เหตุการณ์แรกของโฟลว์นี้ปรากฏขึ้น ระบบจะ “กระโดด” จากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่ง (บนกราฟสถานะตามลูกศร)
เพื่อความชัดเจน บนกราฟสถานะของระบบ สำหรับแต่ละส่วนโค้ง จะมีการระบุความเข้มข้นของการไหลของเหตุการณ์ที่เคลื่อนระบบไปตามส่วนโค้งนี้ (ลูกศร) - ความรุนแรงของการไหลของเหตุการณ์ที่ถ่ายโอนระบบจากสถานะไปยัง กราฟดังกล่าวเรียกว่า ทำเครื่องหมาย- สำหรับตัวอย่างของเรา กราฟที่มีป้ายกำกับจะแสดงในรูป 3.
ข้าว. 3. กราฟสถานะระบบที่มีป้ายกำกับ
ในรูปนี้ - ความรุนแรงของการไหลล้มเหลว - ความเข้มข้นของกระแสการฟื้นตัว
เราถือว่าเวลาเฉลี่ยในการซ่อมเครื่องจักรไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ามีการซ่อมแซมเครื่องหนึ่งเครื่องหรือทั้งสองเครื่องในคราวเดียว เหล่านั้น. แต่ละเครื่องได้รับการซ่อมแซมโดยผู้เชี่ยวชาญเฉพาะทาง
ให้ระบบอยู่ในสถานะ ส 0 . ในรัฐ ส 1 แปลตามกระแสความล้มเหลวของเครื่องแรก ความเข้มของมันเท่ากับ:
โดยที่คือเวลาการทำงานที่ปราศจากข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ยของเครื่องแรก
จากรัฐ ส 1 นิ้ว ส 0 ระบบจะถูกถ่ายโอนตามขั้นตอน "การซ่อมแซมเสร็จสิ้น" ของเครื่องแรก ความเข้มของมันเท่ากับ:
โดยที่เวลาซ่อมเฉลี่ยของเครื่องแรกคือที่ไหน
ความเข้มของโฟลว์เหตุการณ์ที่ถ่ายโอนระบบไปตามส่วนโค้งทั้งหมดของกราฟได้รับการคำนวณในลักษณะเดียวกัน เราสร้างกราฟสถานะของระบบที่มีป้ายกำกับไว้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการนี้
ให้ระบบอยู่ระหว่างการพิจารณา สมี -สถานะที่เป็นไปได้ ความน่าจะเป็นของสถานะที่ 3 คือความน่าจะเป็นที่ระบบจะอยู่ในสถานะ ณ เวลานั้น เห็นได้ชัดว่าในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง ผลรวมของความน่าจะเป็นของรัฐทั้งหมดจะเท่ากับหนึ่ง:
ในการค้นหาความน่าจะเป็นของรัฐที่เป็นฟังก์ชันของเวลา ให้เขียนและแก้โจทย์ สมการโคลโมโกรอฟ– สมการประเภทพิเศษที่ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักคือความน่าจะเป็นของรัฐ กฎสำหรับการเขียนสมการเหล่านี้ให้ไว้ที่นี่โดยไม่มีการพิสูจน์ แต่ก่อนที่จะแนะนำเรามาอธิบายแนวคิดกันก่อน ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของรัฐ .
จะเกิดอะไรขึ้นกับความน่าจะเป็นของรัฐที่ ? พวกเขาจะมุ่งมั่นเพื่อขีดจำกัดใดๆ หรือไม่? หากขีดจำกัดเหล่านี้มีอยู่และไม่ขึ้นอยู่กับสถานะเริ่มต้นของระบบ ขีดจำกัดเหล่านั้นจะถูกเรียก ความน่าจะเป็นของรัฐสุดท้าย .
โดยที่จำนวนสถานะของระบบมีจำกัด
ความน่าจะเป็นของรัฐสุดท้าย– สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่ปริมาณแปรผัน (ฟังก์ชันของเวลา) อีกต่อไป แต่เป็นจำนวนคงที่ เห็นได้ชัดว่า:
ความน่าจะเป็นในสถานะสุดท้ายโดยพื้นฐานแล้วคือเวลาสัมพัทธ์เฉลี่ยที่ระบบยังคงอยู่ในสถานะนี้
ตัวอย่างเช่นระบบ สมีสามรัฐ ส 1 , ส 2 และ ส 3. ความน่าจะเป็นสุดท้ายของพวกเขาคือ 0.2 ตามลำดับ; 0.3 และ 0.5 ซึ่งหมายความว่าระบบที่อยู่ในสถานะหยุดนิ่งที่จำกัดจะใช้เวลาโดยเฉลี่ย 2/10 ของเวลาในสถานะนั้น ส 1, 3/10 – ได้ ส 2 และ 5/10 – ทำได้ ส 3 .
กฎสำหรับการเขียนระบบสมการโคลโมโกรอฟ: ในแต่ละสมการของระบบ ทางด้านซ้ายคือความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะที่กำหนด คูณด้วยความเข้มข้นรวมของการไหลทั้งหมด เป็นผู้นำจากรัฐนี้, ก ทางด้านขวาของเขา ชิ้นส่วน– ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของความเข้มของการไหลทั้งหมด รวมอยู่ใน -รัฐที่เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของรัฐที่กระแสเหล่านี้มา
เมื่อใช้กฎนี้ เราจะเขียนระบบสมการ สำหรับตัวอย่างของเรา :
.
ดูเหมือนว่าระบบสมการสี่สมการที่มีไม่ทราบสี่ประการนี้จะสามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์ แต่สมการเหล่านี้เป็นเนื้อเดียวกัน (ไม่มีคำศัพท์อิสระ) ดังนั้น สมการเหล่านี้จึงพิจารณาสิ่งที่ไม่ทราบได้ขึ้นอยู่กับปัจจัยที่กำหนดเองเท่านั้น อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานได้: 
และนำไปใช้ในการแก้ปัญหาระบบ ในกรณีนี้ สามารถละทิ้งสมการหนึ่ง (อันใดอันหนึ่ง) ได้ (ซึ่งตามมาด้วยผลที่ตามมาของสมการอื่น)
ความต่อเนื่องของตัวอย่าง- ปล่อยให้ความเข้มของการไหลเท่ากับ: .
เราละทิ้งสมการที่สี่และเพิ่มเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานแทน:
.
เหล่านั้น. ในโหมดจำกัดและหยุดนิ่งของระบบ สโดยเฉลี่ย 40% ของเวลาจะใช้เวลาอยู่ในสภาวะ ส 0 (ใช้งานได้ทั้งสองเครื่อง), 20% - อยู่ในสภาพดี ส 1 (เครื่องแรกกำลังซ่อมแซม เครื่องที่สองใช้งานได้) 27% - ในสภาพ สเครื่องที่ 2 (กำลังซ่อมแซมเครื่องที่สอง เครื่องแรกใช้งานได้) 13% - ในสภาพ ส 3 (อยู่ระหว่างการซ่อมแซมทั้งสองเครื่อง) การทราบความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายเหล่านี้สามารถช่วยประมาณประสิทธิภาพโดยเฉลี่ยของระบบและปริมาณงานของอวัยวะในการซ่อมแซมได้
ให้ระบบ สสามารถ ส 0 (ปฏิบัติการเต็มรูปแบบ) นำมาซึ่งรายได้ 8 หน่วยทั่วไปต่อหน่วยเวลาสามารถทำได้ ส 1 – รายได้ 3 หน่วยธรรมดา, สามารถ ส 2 – รายได้ 5 หน่วยธรรมดา, สามารถ ส 3 – ไม่สร้างรายได้ จากนั้น ในโหมดจำกัดและอยู่กับที่ รายได้เฉลี่ยต่อหน่วยเวลาจะเท่ากับ: หน่วยทั่วไป
เครื่องที่ 1 ได้รับการซ่อมแซมโดยใช้เวลาเพียงเสี้ยววินาทีเท่ากับ: . เครื่องที่ 2 ได้รับการซ่อมแซมภายในเสี้ยววินาทีเท่ากับ: . เกิดขึ้น ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ- แม้ว่าเราจะสามารถลดเวลาการซ่อมโดยเฉลี่ยของเครื่องแรกหรือเครื่องที่สองได้ (หรือทั้งสองอย่าง) แต่ก็จะทำให้เราต้องเสียค่าใช้จ่ายจำนวนหนึ่ง คำถามคือ รายได้ที่เพิ่มขึ้นจากการซ่อมแซมที่เร็วขึ้นจะจ่ายค่าซ่อมที่เพิ่มขึ้นหรือไม่ คุณจะต้องแก้ระบบสมการสี่สมการโดยไม่ทราบค่าสี่ค่า
ตัวอย่างของระบบคิว (QS): การแลกเปลี่ยนโทรศัพท์ ร้านซ่อม สำนักงานขายตั๋ว โต๊ะข้อมูล เครื่องมือกลและระบบเทคโนโลยีอื่น ๆ ระบบควบคุมระบบการผลิตที่ยืดหยุ่น ฯลฯ
QS แต่ละรายการประกอบด้วยหน่วยบริการจำนวนหนึ่งซึ่งเรียกว่า ช่องทางการให้บริการ(ได้แก่ เครื่องจักร รถเข็นขนส่ง หุ่นยนต์ สายสื่อสาร พนักงานเก็บเงิน พนักงานขาย ฯลฯ) QS ทุกรายการได้รับการออกแบบมาเพื่อรองรับบางประเภท การไหลของแอปพลิเคชัน(ข้อกำหนด) มาถึงในช่วงเวลาหนึ่งโดยบังเอิญ
การบริการของคำขอยังคงดำเนินต่อไปในบางเวลา โดยทั่วไป จะเป็นแบบสุ่ม หลังจากนั้นช่องจะว่างและพร้อมที่จะรับคำขอถัดไป ลักษณะการสุ่มของโฟลว์ของแอปพลิเคชันและเวลาการบริการนำไปสู่ความจริงที่ว่าในบางช่วงเวลา แอปพลิเคชันจำนวนมากเกินไปสะสมที่อินพุตของ QS (แอปพลิเคชันเหล่านั้นอาจเข้าคิวหรือปล่อย QS ไว้โดยไม่ให้บริการ) ในช่วงเวลาอื่นๆ ระบบจะทำงานเมื่อมีโหลดเกินหรือไม่ได้ใช้งานโดยสมบูรณ์
กระบวนการดำเนินการ QS เป็นกระบวนการสุ่มที่มีสถานะแยกกันและต่อเนื่องกัน สถานะของ QS เปลี่ยนแปลงกะทันหันเมื่อมีเหตุการณ์บางอย่างเกิดขึ้น (การมาถึงของแอปพลิเคชันใหม่ การสิ้นสุดการบริการ ช่วงเวลาที่แอปพลิเคชันที่เบื่อหน่ายกับการรอออกจากคิว)
เรื่องของทฤษฎีการเข้าคิว– การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงเงื่อนไขการปฏิบัติงานที่กำหนดของ QS (จำนวนช่องทาง, ประสิทธิภาพการทำงาน, กฎการปฏิบัติงาน, ลักษณะของการไหลของคำขอ) ด้วยคุณลักษณะที่เราสนใจ - ตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพของ QS ตัวบ่งชี้เหล่านี้อธิบายถึงความสามารถของ CMO ในการรับมือกับความลื่นไหลของแอปพลิเคชัน อาจเป็น: จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ให้บริการโดย QS ต่อหน่วยเวลา จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว เวลาเฉลี่ยในการรอรับบริการ ฯลฯ
การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของการดำเนินงานของ QS จะได้รับการอำนวยความสะดวกอย่างมากหากกระบวนการของงานนี้เป็นแบบ Markovian เช่น กระแสของเหตุการณ์ที่ถ่ายโอนระบบจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐนั้นง่ายที่สุด มิฉะนั้น คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการจะซับซ้อนมากและแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะนำไปสู่การอ้างอิงเชิงวิเคราะห์ที่เฉพาะเจาะจง ในทางปฏิบัติ กระบวนการที่ไม่ใช่มาร์คอฟจะลดลงเหลือเพียงกระบวนการมาร์คอฟที่มีการประมาณ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้อธิบายกระบวนการมาร์คอฟ
ส่วนแรก (ขึ้นอยู่กับคิว):
1. QS ที่มีความล้มเหลว
2. คิวด้วยคิว
ใน QS ที่มีความล้มเหลวแอปพลิเคชันที่ได้รับในเวลาที่ทุกช่องไม่ว่างถูกปฏิเสธ ออกจาก QS และจะไม่ได้รับบริการในอนาคต
ใน SMO พร้อมคิวแอปพลิเคชั่นที่มาถึงในเวลาที่ทุกช่องไม่ว่างจะไม่ออก แต่เข้าคิวและรอโอกาสที่จะให้บริการ
QS ที่มีคิวจะถูกแบ่งย่อยออกเป็นประเภทต่างๆ ขึ้นอยู่กับวิธีการจัดคิว - จำกัดหรือไม่จำกัด- ข้อจำกัดอาจเกี่ยวข้องกับความยาวของคิวและเวลารอ "วินัยในการให้บริการ"
ตัวอย่างเช่น จะพิจารณา QS ต่อไปนี้:
· CMO ที่มีคำขอไม่อดทน (ความยาวคิวและเวลาให้บริการมีจำกัด)
· QS พร้อมบริการลำดับความสำคัญ เช่น แอปพลิเคชั่นบางตัวถูกประมวลผลไม่ทัน ฯลฯ
นอกจากนี้ QS ยังแบ่งออกเป็น QS แบบเปิดและ QS แบบปิด
ใน QS แบบเปิดลักษณะของโฟลว์ของแอปพลิเคชันไม่ได้ขึ้นอยู่กับสถานะของ QS เอง (จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครอง) ใน QS แบบปิด- ขึ้นอยู่กับ. ตัวอย่างเช่น หากพนักงานคนหนึ่งให้บริการเครื่องจักรกลุ่มหนึ่งที่จำเป็นต้องมีการปรับเปลี่ยนเป็นครั้งคราว ปริมาณของ "ความต้องการ" ที่ไหลออกมาจากเครื่องจักรนั้นจะขึ้นอยู่กับจำนวนเครื่องจักรที่ทำงานอยู่แล้วและรอการปรับเปลี่ยน
การจำแนกประเภทของ SMO นั้นยังห่างไกลจากการจำกัดอยู่แค่พันธุ์ที่กล่าวมาข้างต้น แต่ก็เพียงพอแล้ว
ลองพิจารณา QS ที่ง่ายที่สุดด้วยการรอ - ระบบช่องทางเดียว (n - 1) ซึ่งรับกระแสคำขอที่มีความเข้มข้น ; ความเข้มข้นของการบริการ (เช่น โดยเฉลี่ยแล้ว ช่องสัญญาณที่ไม่ว่างอย่างต่อเนื่องจะออกคำขอบริการต่อหน่วย (เวลา) คำขอที่ได้รับในเวลาที่ช่องไม่ว่างจะถูกเข้าคิวและรอการบริการ
ระบบที่มีความยาวคิวจำกัด ก่อนอื่นให้เราสมมติว่าจำนวนตำแหน่งในคิวถูกจำกัดด้วยจำนวน m นั่นคือ หากแอปพลิเคชันมาถึงในเวลาที่มีแอปพลิเคชัน m อยู่ในคิวอยู่แล้ว จะทำให้ระบบไม่ให้บริการ ในอนาคต โดยการนำ m ไปยังอนันต์ เราจะได้รับคุณลักษณะของ QS ช่องทางเดียวโดยไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับความยาวของคิว
เราจะกำหนดหมายเลขสถานะของ QS ตามจำนวนแอปพลิเคชันในระบบ (ทั้งที่กำลังให้บริการและกำลังรอให้บริการ):
ช่องนี้ฟรี
ช่องไม่ว่างไม่มีคิว
ช่องสัญญาณไม่ว่าง แอปพลิเคชันหนึ่งอยู่ในคิว
ช่องไม่ว่าง แอปพลิเคชัน k-1 อยู่ในคิว
ช่องไม่ว่าง ใบสมัครอยู่ในคิว
GSP จะแสดงในรูป 4. ความเข้มของกระแสเหตุการณ์ทั้งหมดที่เคลื่อนเข้าสู่ระบบตามลูกศรจากซ้ายไปขวาจะเท่ากับ และจากขวาไปซ้าย - อันที่จริงการไหลของคำขอจะย้ายระบบไปตามลูกศรจากซ้ายไปขวา (ทันทีที่คำขอมาถึงระบบจะไปยังสถานะถัดไป) จากขวาไปซ้าย - โฟลว์ของ "การเผยแพร่" ของช่องทางที่ไม่ว่างซึ่ง มีความเข้มข้น (ทันทีที่ให้บริการคำขอถัดไป ช่องสัญญาณจะว่างหรือลดจำนวนแอปพลิเคชันในคิว)
ข้าว. 4. QS ช่องทางเดียวพร้อมการรอ
แสดงในรูปที่. แผนภาพที่ 4 เป็นแผนภาพของการสืบพันธุ์และการตาย ให้เราเขียนนิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐ:
(5)
หรือใช้: :
(6)
บรรทัดสุดท้ายใน (6) มีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยมีเทอมแรก 1 และตัวส่วน p ซึ่งเราได้รับ:
(7)
ที่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นที่จำกัดอยู่ในรูปแบบ:
(8).
นิพจน์ (7) ใช้ได้เฉพาะกับ< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:
ให้เราพิจารณาคุณลักษณะของ QS: ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว ปริมาณงานสัมพัทธ์ q ปริมาณงานสัมบูรณ์ A ความยาวคิวเฉลี่ย จำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่เกี่ยวข้องกับระบบ เวลารอโดยเฉลี่ยในคิว เวลาเฉลี่ยที่ใช้โดยแอปพลิเคชันใน QS .
ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว แน่นอนว่าแอปพลิเคชันจะถูกปฏิเสธเฉพาะในกรณีที่ช่องไม่ว่างและ t-place ทั้งหมดในคิวก็ไม่ว่างเช่นกัน:
(9).
แบนด์วิธสัมพัทธ์:
(10).
ความยาวคิวเฉลี่ย ลองหาจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิวซึ่งเป็นค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มจำนวน R ของแอปพลิเคชันในคิว:
ด้วยความน่าจะเป็นที่มีหนึ่งแอปพลิเคชันในคิว โดยมีความน่าจะเป็นที่มีสองแอปพลิเคชัน โดยทั่วไปจะมีแอปพลิเคชัน k-1 อยู่ในคิว เป็นต้น ซึ่งจากนี้:
(11).
เนื่องจาก ผลรวมใน (11) สามารถตีความได้ว่าเป็นอนุพันธ์ของผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
แทนที่นิพจน์นี้เป็น (11) และใช้จาก (8) ในที่สุดเราก็ได้:
(12).
จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ ต่อไป เราจะได้สูตรสำหรับจำนวนเฉลี่ยของคำขอที่เกี่ยวข้องกับระบบ (ทั้งที่อยู่ในคิวและกำลังให้บริการ) เนื่องจาก คือจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันภายใต้บริการ และทราบ k จึงยังคงต้องพิจารณา เนื่องจากมีเพียงช่องทางเดียว จำนวนคำขอที่ได้รับบริการอาจเป็น 0 (ด้วยความน่าจะเป็น ) หรือ 1 (ด้วยความน่าจะเป็น 1 - ) โดยที่:
.
และจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่เกี่ยวข้องกับ QS คือ:
(13).
เวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชันในคิว เรามาแสดงกันเถอะ ; หากมีการร้องขอเข้าสู่ระบบ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง ก็เป็นไปได้ว่าช่องทางบริการจะไม่ยุ่ง และไม่ต้องรอคิว (เวลารอเป็นศูนย์) เป็นไปได้มากว่าเธอจะเข้ามาในระบบในขณะที่บางคำขอกำลังให้บริการ แต่จะไม่มีคิวอยู่ข้างหน้าเธอ และคำขอจะรอเพื่อเริ่มให้บริการในช่วงระยะเวลาหนึ่ง (เวลาเฉลี่ยในการให้บริการ) ขอ). มีความเป็นไปได้ที่จะมีแอปพลิเคชันอื่นอยู่ในคิวก่อนที่แอปพลิเคชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณา และเวลารอโดยเฉลี่ยจะเท่ากับ เป็นต้น
ถ้า k=m+1 นั่นคือ เมื่อคำขอที่มาถึงใหม่พบว่าช่องทางบริการไม่ว่างและคำขอ m อยู่ในคิว (ความน่าจะเป็นของสิ่งนี้) ในกรณีนี้ คำขอจะไม่เข้าคิว (และไม่ได้ให้บริการ) ดังนั้นเวลาในการรอจึงเป็นศูนย์ เวลารอโดยเฉลี่ยจะเป็น:
ถ้าเราแทนที่นิพจน์ด้วยความน่าจะเป็น (8) ที่นี่ เราจะได้:
(14).
ในที่นี้เราใช้ความสัมพันธ์ (11), (12) (อนุพันธ์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต) และจาก (8) เมื่อเปรียบเทียบนิพจน์นี้กับ (12) เราสังเกตว่าอีกนัยหนึ่ง เวลารอโดยเฉลี่ยจะเท่ากับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิวหารด้วยความเข้มข้นของโฟลว์แอปพลิเคชัน
(15).
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันยังคงอยู่ในระบบ ให้เราระบุความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มตามเวลาที่คำขอยังคงอยู่ใน QS ซึ่งเป็นผลรวมของเวลารอโดยเฉลี่ยในคิวและเวลาให้บริการโดยเฉลี่ย หากโหลดของระบบเป็น 100% มิฉะนั้น:
.
ตัวอย่างที่ 1 ปั๊มน้ำมัน (ปั๊มน้ำมัน) คือสถานีบริการที่มีช่องทางบริการเดียว (ปั๊มเดียว)
พื้นที่บริเวณสถานีอนุญาตให้รถเข้าแถวเติมน้ำมันพร้อมกันได้ไม่เกิน 3 คัน (m = 3) หากมีรถเข้าคิวอยู่แล้วสามคัน รถคันต่อไปที่มาถึงสถานีจะไม่เข้าร่วมคิว อัตราการไหลของรถยนต์ที่มาถึงเพื่อเติมเชื้อเพลิงมีความเข้มข้น = 1 (คันต่อนาที) กระบวนการเติมเชื้อเพลิงใช้เวลาเฉลี่ย 1.25 นาที
กำหนด:
ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว
ความจุสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ของสถานีบริการน้ำมัน
จำนวนรถยนต์เฉลี่ยที่รอเติมน้ำมัน
จำนวนรถยนต์โดยเฉลี่ยในปั๊มน้ำมัน (รวมรถยนต์ที่ให้บริการ)
เวลารอรถโดยเฉลี่ยในคิว
เวลาเฉลี่ยที่รถใช้ที่ปั๊มน้ำมัน (รวมบริการ)
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวลารอโดยเฉลี่ยจะเท่ากับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว หารด้วยความเข้มข้นของโฟลว์แอปพลิเคชัน
ก่อนอื่นเราจะพบความเข้มที่ลดลงของโฟลว์ของแอปพลิเคชัน: =1/1.25=0.8; =1/0.8=1.25.
ตามสูตร (8):
ความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวคือ 0.297
ความจุสัมพัทธ์ของ QS: q=1-=0.703
ปริมาณงานสัมบูรณ์ของ QS: A==0.703 คันต่อนาที
เราค้นหาจำนวนรถยนต์โดยเฉลี่ยในคิวโดยใช้สูตร (12):
เหล่านั้น. จำนวนรถยนต์ที่เข้าคิวเติมน้ำมันโดยเฉลี่ยอยู่ที่ 1.56 คัน
การเพิ่มมูลค่านี้จะเป็นจำนวนยานพาหนะโดยเฉลี่ยที่เข้ารับบริการ:
เราจะได้จำนวนรถยนต์โดยเฉลี่ยที่เกี่ยวข้องกับปั๊มน้ำมัน
ระยะเวลารอรถโดยเฉลี่ยตามสูตร (15):
นอกเหนือจากค่านี้แล้ว เราจะได้เวลาเฉลี่ยที่รถใช้ที่ปั๊มน้ำมัน:
ระบบรอได้ไม่จำกัด ในระบบดังกล่าว ค่าของ m ไม่จำกัด ดังนั้น คุณลักษณะหลักสามารถรับได้โดยการส่งผ่านไปยังขีดจำกัดในนิพจน์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ (5), (6) เป็นต้น
โปรดทราบว่าตัวส่วนในสูตรสุดท้าย (6) คือผลรวมของจำนวนอนันต์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ผลรวมนี้มาบรรจบกันเมื่อความก้าวหน้าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เช่น ที่<1.
ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่า<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.
ถ้าหากความสัมพันธ์ (8) อยู่ในรูปแบบ:
(16).
หากไม่มีข้อจำกัดความยาวของคิว แต่ละแอปพลิเคชันที่เข้ามาในระบบจะได้รับบริการ ดังนั้น q=1 
.
เราได้รับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิวจาก (12) ที่:
จำนวนการใช้งานเฉลี่ยในระบบตามสูตร (13) ที่:
.
เวลารอโดยเฉลี่ยได้มาจากสูตร (14) โดยมี:
.
สุดท้ายนี้ เวลาเฉลี่ยที่ใบสมัครจะอยู่ใน QS คือ:
ระบบที่มีความยาวคิวจำกัด ลองพิจารณาช่อง QS ที่มีการรอคอย ซึ่งได้รับคำขอจำนวนมากอย่างเข้มข้น ความเข้มข้นของการบริการ (สำหรับหนึ่งช่องทาง) จำนวนสถานที่ในคิว
สถานะของระบบจะถูกกำหนดหมายเลขตามจำนวนคำขอที่เกี่ยวข้องกับระบบ:
ไม่มีคิว:
ทุกช่องฟรี;
ช่องหนึ่งถูกครอบครองส่วนที่เหลือเป็นอิสระ
-ช่องถูกครอบครอง ส่วนที่เหลือไม่ได้;
ทุกช่องถูกครอบครองไม่มีช่องฟรี
มีคิว:
n-channel ทั้งหมดถูกครอบครอง แอปพลิเคชันหนึ่งอยู่ในคิว
n-channels, r-requests ในคิวทั้งหมดถูกครอบครอง;
n-channel, r-request ในคิวทั้งหมดถูกครอบครอง
GSP จะแสดงในรูป 17. ลูกศรแต่ละอันจะถูกทำเครื่องหมายด้วยความเข้มที่สอดคล้องกันของโฟลว์เหตุการณ์ ตามลูกศรจากซ้ายไปขวา ระบบจะถูกถ่ายโอนตามโฟลว์คำขอเดียวกันที่มีความเข้มข้นเป็นเสมอ
ข้าว. 17. QS หลายช่องทางพร้อมการรอ
กราฟนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับกระบวนการสืบพันธุ์และการตายซึ่งได้รับสารละลายมาก่อนหน้านี้ เรามาเขียนนิพจน์เพื่อหาความน่าจะเป็นจำกัดของรัฐโดยใช้สัญลักษณ์: (ในที่นี้เราใช้นิพจน์สำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน)
ดังนั้นจึงพบความน่าจะเป็นของรัฐทั้งหมด
ให้เราพิจารณาลักษณะของประสิทธิภาพของระบบ
ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว คำขอที่เข้ามาจะถูกปฏิเสธถ้า n-channel และ m-place ทั้งหมดในคิวถูกครอบครอง:
(18)
ปริมาณงานสัมพัทธ์ช่วยเสริมความน่าจะเป็นของความล้มเหลวเป็น:
ปริมาณงานสัมบูรณ์ของ QS:
(19)
จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย สำหรับ QS ที่มีการปฏิเสธนั้นใกล้เคียงกับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ สำหรับ QS ที่มีคิว จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ยไม่ตรงกับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ: ค่าหลังแตกต่างจากค่าแรกด้วยจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิว
ให้เราแสดงจำนวนช่องที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยด้วย แต่ละช่องสัญญาณที่ไม่ว่างจะให้บริการตามการเคลม A โดยเฉลี่ยต่อหน่วยเวลา และ QS โดยรวมจะให้บริการตามการเคลม A โดยเฉลี่ยต่อหน่วยเวลา เมื่อหารกันเราจะได้:
จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยในคิวสามารถคำนวณได้โดยตรงตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:
(20)
อีกครั้ง (นิพจน์ในวงเล็บ) อนุพันธ์ของผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเกิดขึ้น (ดูด้านบน (11), (12) - (14)) เราได้รับความสัมพันธ์โดยใช้ความสัมพันธ์:
จำนวนการใช้งานเฉลี่ยในระบบ:
เวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชันในคิว ลองพิจารณาสถานการณ์ต่างๆ ที่แตกต่างกันในสถานะที่คำขอที่เพิ่งมาถึงจะค้นหาระบบ และระยะเวลาที่ต้องรอเพื่อรับบริการ
หากคำขอไม่พบทุกช่องที่ไม่ว่าง ก็ไม่จำเป็นต้องรอเลย (เงื่อนไขที่เกี่ยวข้องในความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีค่าเท่ากับศูนย์) หากคำขอมาถึงในเวลาที่ n-channel ทั้งหมดไม่ว่างและไม่มีคิว คำขอนั้นจะต้องรอโดยเฉลี่ยเป็นเวลาเท่ากับ (เนื่องจาก "release flow" ของ -channels มีความเข้มข้น) หากคำขอพบว่าทุกช่องไม่ว่างและมีคำขอหนึ่งรายการอยู่ข้างหน้าในคิว คำขอนั้นจะต้องรอโดยเฉลี่ยเป็นระยะเวลาหนึ่ง (สำหรับแต่ละคำขอที่อยู่ข้างหน้า) เป็นต้น หากคำขอพบว่าตัวเองอยู่ในคิวของ - คำขอก็จะต้องรอโดยเฉลี่ยเป็นระยะเวลาหนึ่ง หากคำขอที่เพิ่งมาถึงพบคำขอ m อยู่ในคิวแล้ว ก็จะไม่รอเลย (แต่จะไม่ให้บริการ) เราค้นหาเวลารอโดยเฉลี่ยโดยการคูณแต่ละค่าเหล่านี้ด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:
(21)
เช่นเดียวกับในกรณีของ QS ช่องทางเดียวที่มีการรอ เราทราบว่านิพจน์นี้แตกต่างจากนิพจน์สำหรับความยาวคิวเฉลี่ย (20) โดยปัจจัยเท่านั้น กล่าวคือ
.
เวลาพักเฉลี่ยของคำขอในระบบ เช่นเดียวกับ QS ช่องทางเดียว แตกต่างจากเวลารอโดยเฉลี่ยตามเวลาบริการเฉลี่ยคูณด้วยปริมาณงานสัมพัทธ์:
.
ระบบที่มีความยาวคิวไม่จำกัด เราถือว่า QS ของช่องทางที่มีการรอคอย เมื่อสามารถมีคำขอได้ไม่เกิน m ในคิวในเวลาเดียวกัน
เช่นเดียวกับเมื่อก่อน เมื่อวิเคราะห์ระบบโดยไม่มีข้อจำกัด จำเป็นต้องพิจารณาความสัมพันธ์ที่ได้รับสำหรับ
เราได้รับความน่าจะเป็นของสถานะจากสูตรโดยผ่านไปยังขีดจำกัด (at) โปรดทราบว่าผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่สอดคล้องกันมาบรรจบกันที่และแตกต่างที่ >1 สมมุติว่า<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว ปริมาณงานสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ เนื่องจากแต่ละคำขอจะได้รับบริการไม่ช้าก็เร็ว คุณลักษณะของปริมาณงาน QS จะเป็นดังนี้:
จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิวได้มาจาก (20):
,
และเวลารอโดยเฉลี่ยอยู่ที่ (21):
.
จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยเช่นเดิมถูกกำหนดผ่านปริมาณงานสัมบูรณ์:
.
จำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่เกี่ยวข้องกับ QS ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิว บวกกับจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันภายใต้บริการ (จำนวนเฉลี่ยของช่องสัญญาณที่ไม่ว่าง):
ตัวอย่างที่ 2 ปั๊มน้ำมันที่มีปั๊ม 2 ตัว (n = 2) รองรับการไหลของรถยนต์ด้วยความเข้มข้น =0.8 (คันต่อนาที) เวลาให้บริการเฉลี่ยต่อเครื่อง:
ในพื้นที่ไม่มีปั๊มน้ำมันอื่น ดังนั้น แถวรถหน้าปั๊มสามารถเติบโตได้แทบไร้ขีดจำกัด ค้นหาคุณลักษณะของ QS
เพราะว่า<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
ฯลฯ
เราจะค้นหาจำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ยโดยการหารความจุสัมบูรณ์ของ QS A = = 0.8 ด้วยความเข้มข้นของบริการ = 0.5:
ความน่าจะเป็นของการไม่มีคิวที่ปั๊มน้ำมันจะเป็นดังนี้:
จำนวนรถเฉลี่ยต่อคิว:
จำนวนรถยนต์เฉลี่ยในปั๊มน้ำมัน:
เวลารอโดยเฉลี่ยในคิว:
เวลาเฉลี่ยที่รถใช้ที่ปั๊มน้ำมัน:
QS ที่มีระยะเวลารอคอยที่จำกัด ก่อนหน้านี้ เราพิจารณาระบบที่มีการรอซึ่งจำกัดด้วยความยาวของคิวเท่านั้น (จำนวนคำขอ m พร้อมกันในคิว) ใน QS ดังกล่าว แอปพลิเคชันที่เติบโตในคิวจะไม่ปล่อยทิ้งไว้จนกว่าจะรอการบริการ ในทางปฏิบัติ ยังมี QS ประเภทอื่นๆ ที่แอปพลิเคชันสามารถออกจากคิวได้หลังจากรอสักระยะหนึ่ง (เรียกว่าแอปพลิเคชัน "ใจร้อน")
ลองพิจารณา QS ประเภทนี้ โดยสมมติว่าข้อจำกัดด้านเวลารอเป็นตัวแปรสุ่ม
สมมติว่ามี QS แบบ n-channel ที่มีการรอ ซึ่งจำนวนตำแหน่งในคิวนั้นไม่จำกัด แต่เวลาที่คำขอยังคงอยู่ในคิวนั้นเป็นตัวแปรสุ่มบางตัวที่มีค่าเฉลี่ย ดังนั้น แต่ละคำขอใน คิวขึ้นอยู่กับ "กระแสแห่งการดูแล" ของปัวซองด้วยความเข้มข้น:
หากโฟลว์นี้คือปัวซอง กระบวนการที่เกิดขึ้นใน QS จะเป็นมาร์โคเวียน ให้เราค้นหาความน่าจะเป็นของรัฐสำหรับมัน การกำหนดหมายเลขสถานะของระบบสัมพันธ์กับจำนวนแอปพลิเคชันในระบบ - ทั้งที่ให้บริการและอยู่ในคิว:
ไม่มีคิว:
ทุกช่องฟรี;
ช่องหนึ่งไม่ว่าง
สองช่องไม่ว่าง
n-channel ทั้งหมดถูกครอบครอง
มีคิว:
n-channel ทั้งหมดถูกครอบครอง หนึ่งคำขออยู่ในคิว
n-channel ทั้งหมดถูกครอบครอง, คำขอ r อยู่ในคิว ฯลฯ
กราฟสถานะและการเปลี่ยนแปลงของระบบจะแสดงในรูป 23.
ข้าว. 23. QS มีระยะเวลารอคอยที่จำกัด
เรามาทำเครื่องหมายกราฟนี้เหมือนเดิม ลูกศรทั้งหมดที่ชี้จากซ้ายไปขวาจะบ่งบอกถึงความเข้มข้นของการไหลของแอปพลิเคชัน สำหรับรัฐที่ไม่มีคิว ลูกศรที่นำทางจากขวาไปซ้ายจะระบุความเข้มข้นรวมของการไหลที่ให้บริการช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองทั้งหมดเช่นเดิม สำหรับสถานะที่มีคิว ลูกศรที่ชี้จากขวาไปซ้ายจะมีความเข้มข้นรวมของกระแสการบริการของ n-channel ทั้งหมด บวกกับความเข้มข้นที่สอดคล้องกันของกระแสการออกจากคิว หากมีแอปพลิเคชัน r ในคิว ดังนั้นความเข้มข้นรวมของการไหลออกจะเท่ากับ
ดังที่เห็นได้จากกราฟจะมีรูปแบบการสืบพันธุ์และการตาย ใช้นิพจน์ทั่วไปเพื่อจำกัดความน่าจะเป็นของรัฐในโครงการนี้ (โดยใช้สัญกรณ์แบบย่อเราเขียน:
(24)
ให้เราสังเกตคุณลักษณะบางอย่างของ QS ที่มีระยะเวลารอคอยที่จำกัด เมื่อเปรียบเทียบกับ QS ที่พิจารณาก่อนหน้านี้ที่มีคำขอ "ผู้ป่วย"
หากความยาวของคิวไม่ จำกัด และคำขอเป็น "ผู้ป่วย" (อย่าออกจากคิว) ดังนั้นระบอบการจำกัดแบบคงที่มีอยู่เฉพาะในกรณีเท่านั้น (ที่ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ที่สอดคล้องกันแยกออกซึ่งสอดคล้องกับทางกายภาพกับการเติบโตที่ไม่ จำกัด ของคิวที่ )
ในทางตรงกันข้าม ใน QS ที่มีคำขอ "ใจร้อน" ออกจากคิวไม่ช้าก็เร็ว โหมดการบริการที่กำหนดไว้ที่ จะได้รับเสมอ โดยไม่คำนึงถึงความเข้มข้นของการไหลของคำขอที่ลดลง สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าอนุกรมสำหรับในตัวส่วนของสูตร (24) มาบรรจบกันสำหรับค่าบวกใด ๆ ของ และ .
สำหรับ QS ที่มีคำขอ "ใจร้อน" แนวคิดเรื่อง "ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว" นั้นไม่สมเหตุสมผล - แต่ละคำขออยู่ในแนวเดียวกัน แต่อาจไม่รอรับบริการ และออกก่อนเวลา
ปริมาณงานสัมพัทธ์ คือจำนวนคำขอโดยเฉลี่ยในคิว ความจุสัมพัทธ์ q ของ QS ดังกล่าวสามารถคำนวณได้ดังนี้ แน่นอนว่าแอปพลิเคชันทั้งหมดจะได้รับการบริการ ยกเว้นแอปพลิเคชันที่ออกจากคิวก่อนกำหนด มาคำนวณจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่ออกจากคิวก่อนกำหนด ในการดำเนินการนี้ เราจะคำนวณจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว:
การสมัครแต่ละรายการเหล่านี้อยู่ภายใต้ "กระแสการออกเดินทาง" โดยมีความเข้มข้นที่ ซึ่งหมายความว่า จากจำนวนโดยเฉลี่ยของ -แอปพลิเคชันในคิว โดยเฉลี่ย -แอปพลิเคชันจะออกโดยไม่รอการบริการ -แอปพลิเคชันต่อหน่วยเวลา และรวมต่อหน่วยเวลา โดยเฉลี่ย -แอปพลิเคชันจะให้บริการ ความสามารถสัมพัทธ์ของ QS จะเป็น:
เรายังคงได้รับจำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยโดยการหารแบนด์วิธสัมบูรณ์ A ด้วย:
(26)
จำนวนใบสมัครโดยเฉลี่ยในคิว ความสัมพันธ์ (26) ช่วยให้คุณสามารถคำนวณจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิวโดยไม่ต้องรวมอนุกรมอนันต์ (25) จาก (26) เราได้รับ:
และจำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยที่รวมอยู่ในสูตรนี้สามารถพบได้เป็นค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z โดยรับค่า 0, 1, 2, ..., n ด้วยความน่าจะเป็น:
โดยสรุป เราสังเกตว่าหากในสูตร (24) เราไปถึงขีด จำกัด ที่ (หรือเหมือนกันที่ ) จะได้สูตร (22) นั่นคือแอปพลิเคชันที่ "ใจร้อน" จะกลายเป็น "ผู้ป่วย"
จนถึงตอนนี้ เราได้พิจารณาระบบที่การไหลเข้าไม่ได้เชื่อมต่อกับการไหลออกแต่อย่างใด ระบบดังกล่าวเรียกว่า open-loop ในบางกรณี คำร้องขอการบริการจะได้รับอีกครั้งที่อินพุตหลังจากเกิดความล่าช้า QS ดังกล่าวเรียกว่าปิด คลินิกที่ให้บริการในพื้นที่ที่กำหนด ทีมงานที่ได้รับมอบหมายให้ดูแลกลุ่มเครื่องจักร เป็นตัวอย่างของระบบปิด
ใน QS แบบปิด จำนวนข้อกำหนดที่เป็นไปได้ที่จำกัดเท่ากันจะหมุนเวียนไป จนกว่าข้อกำหนดที่เป็นไปได้จะได้รับการรับรู้เป็นคำขอบริการ จะถือว่าอยู่ในบล็อกความล่าช้า ในขณะที่ดำเนินการก็จะเข้าสู่ระบบเอง ตัวอย่างเช่น พนักงานดูแลรักษากลุ่มเครื่องจักร เครื่องจักรแต่ละเครื่องเป็นข้อกำหนดที่เป็นไปได้ โดยจะกลายเป็นเครื่องจริงในขณะที่เครื่องเสีย ขณะที่เครื่องกำลังทำงานอยู่นั้นอยู่ในบล็อกดีเลย์และตั้งแต่วินาทีที่เครื่องเสียจนถึงสิ้นสุดการซ่อมแซมก็จะอยู่ในระบบเอง พนักงานแต่ละคนเป็นช่องทางการให้บริการ
อนุญาต n- จำนวนช่องทางการให้บริการ ส- จำนวนแอปพลิเคชันที่เป็นไปได้ n <ส , - ความเข้มข้นของการไหลของแอปพลิเคชันสำหรับความต้องการที่เป็นไปได้แต่ละข้อ μ - ความเข้มข้นของการบริการ:
ความน่าจะเป็นของการหยุดทำงานของระบบจะถูกกำหนดโดยสูตร
ร
0
= 
.
ความน่าจะเป็นสุดท้ายของสถานะของระบบ:
พีเค= ที่ เค
จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยจะแสดงผ่านความน่าจะเป็นเหล่านี้
=ป 1 + 2ป 2 +…+n(P n + P n+ 1 +…+ป ส)หรือ
=พ 1 + 2ป 2 +…+(น- 1)ป n- 1 +n( 1-ป 0 -ป 1 -…-ป n-1 ).
เมื่อใช้สิ่งนี้เราจะค้นหาปริมาณงานสัมบูรณ์ของระบบ:
รวมถึงจำนวนการใช้งานโดยเฉลี่ยในระบบ
ม=ส- =ส-
ตัวอย่างที่ 1- อินพุตของ QS สามช่องที่มีความล้มเหลวจะได้รับโฟลว์คำขอที่มีความเข้มข้น =4 คำขอต่อนาที เวลาในการให้บริการคำขอโดยหนึ่งช่องทาง ที obs =1/μ =0.5 นาที จากมุมมองของความจุของ QS จะเป็นประโยชน์หรือไม่หากบังคับให้ทั้งสามช่องทางส่งคำขอบริการพร้อมกัน และเวลาให้บริการโดยเฉลี่ยลดลงสามเท่า สิ่งนี้จะส่งผลต่อเวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันใช้ใน CMO อย่างไร
สารละลาย.เราค้นหาความน่าจะเป็นของการหยุดทำงานของ QS แบบสามช่องทางโดยใช้สูตร
ρ = /μ =4/2=2, n=3,
พี 0 = = = 0,158.
ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวถูกกำหนดโดยสูตร:
ป เปิด = ป n ==
ปเปิด = 0.21.
ปริมาณงานของระบบสัมพัทธ์:
R obsl = 1-R เปิด 1-0,21=0,79.
ปริมาณงานของระบบสัมบูรณ์:
A= P ด้าน 3,16.
จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ยถูกกำหนดโดยสูตร:
1.58 ส่วนแบ่งของช่องที่ให้บริการ
ถาม = 0,53.
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันยังคงอยู่ใน QS จะพบว่าเป็นความน่าจะเป็นที่แอปพลิเคชันจะได้รับการยอมรับสำหรับการบริการ คูณด้วยเวลาบริการโดยเฉลี่ย: ทีเอสเอ็มโอ 0.395 นาที
เมื่อรวมทั้งสามช่องสัญญาณเข้าด้วยกัน เราจะได้ระบบช่องสัญญาณเดียวพร้อมพารามิเตอร์ μ= 6, ρ= 2/3. สำหรับระบบช่องทางเดียว ความน่าจะเป็นของการหยุดทำงานคือ:
ร 0 = = =0,6,
ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว:
P เปิด =ρ P 0 = = 0,4,
ปริมาณงานสัมพัทธ์:
R obsl = 1-R เปิด =0,6,
ปริมาณงานสัมบูรณ์:
เอ=ปออบส = 2.4
เสื้อ SMO =P obsl= =0.1 นาที
ผลจากการรวมช่องสัญญาณเป็นช่องเดียว ปริมาณงานของระบบลดลงเนื่องจากความน่าจะเป็นของความล้มเหลวเพิ่มขึ้น เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันใช้ในระบบลดลง
ตัวอย่างที่ 2- การป้อนข้อมูลของ QS แบบสามช่องสัญญาณพร้อมคิวแบบไม่จำกัดจะได้รับโฟลว์คำขอที่มีความเข้มข้น =4 แอปพลิเคชันต่อชั่วโมง เวลาเฉลี่ยในการให้บริการหนึ่งแอปพลิเคชัน ที=1/μ=0.5 ชม. ค้นหาตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพของระบบ
สำหรับระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณา n =3, =4, μ=1/0.5=2, ρ= /μ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
พ= 
.
ป
0
= 
=1/9.
เราค้นหาจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิวโดยใช้สูตร:
ล
=
.
ล = = .
เราคำนวณเวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชันในคิวโดยใช้สูตร:
ที= = 0.22 ชม.
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันยังคงอยู่ในระบบ:
ต=ที+ 0,22+0,5=0,72.
ตัวอย่างที่ 3- มีช่างทำผม 3 คนที่ทำงานในร้านทำผม และมีเก้าอี้ 3 ตัวในห้องรอ กระแสลูกค้ามีความเข้มข้น = ลูกค้า 12 รายต่อชั่วโมง เวลาให้บริการโดยเฉลี่ย ที obsl = 20 นาที กำหนดปริมาณงานสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ของระบบ จำนวนเก้าอี้โดยเฉลี่ย ความยาวคิวเฉลี่ย เวลาเฉลี่ยที่ลูกค้าใช้ในช่างทำผม
สำหรับงานนี้ n =3, ม =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. ความน่าจะเป็นของการหยุดทำงานถูกกำหนดโดยสูตร:
ร
0
=
.
ป
0
= 
0,012.
ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการให้บริการถูกกำหนดโดยสูตร
P เปิด =P n+m = .
ป เปิด =พีเอ็น + ม 0,307.
ความจุของระบบสัมพัทธ์ เช่น ความน่าจะเป็นของการบริการ:
ป obsl =1-พี เปิด 1-0,307=0,693.
ปริมาณงานสัมบูรณ์:
A= P ด้าน 12 .
จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย:
.
ความยาวคิวเฉลี่ยถูกกำหนดโดยสูตร:
ล
=
ล= 
1,56.
เวลาเฉลี่ยในการรอรับบริการตามคิว:
ที= ชม.
จำนวนใบสมัครเฉลี่ยของ CMO:
ม=ล + .
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันจะอยู่ใน CMO:
ที=ม/ 0.36 ชม
ตัวอย่างที่ 4- คนงานใช้เครื่องจักร 4 เครื่อง แต่ละเครื่องล้มเหลวอย่างเข้มข้น =0.5 ความล้มเหลวต่อชั่วโมง เวลาซ่อมโดยเฉลี่ย ไม่เป็นไร=1/μ=0.8 ชม. กำหนดปริมาณงานของระบบ
ปัญหานี้ถือเป็น QS แบบปิด μ =1.25, ρ=0.5/1.25=0.4 ความน่าจะเป็นของการหยุดทำงานของผู้ปฏิบัติงานถูกกำหนดโดยสูตร:
ร
0
=
.
ป
0
= 
.
ความน่าจะเป็นของการจ้างงานคนงาน อาร์ แซน = 1-พี 0 . อ=( 1-ป 0 )μ =0.85μ เครื่องจักรต่อชั่วโมง
งาน:
คนงานสองคนควบคุมเครื่องจักรกลุ่มละสี่เครื่อง การหยุดการทำงานของเครื่องจักรจะเกิดขึ้นโดยเฉลี่ยหลังจาก 30 นาที เวลาการตั้งค่าโดยเฉลี่ยคือ 15 นาที เวลาการทำงานและการตั้งค่าจะกระจายตามกฎเอ็กซ์โปเนนเชียล
ค้นหาส่วนแบ่งเวลาว่างโดยเฉลี่ยของพนักงานแต่ละคน และเวลาทำงานเฉลี่ยของเครื่องจักร
ค้นหาคุณลักษณะเดียวกันสำหรับระบบที่:
ก) ผู้ปฏิบัติงานแต่ละคนจะได้รับมอบหมายเครื่องจักรสองเครื่อง
b) คนงานสองคนให้บริการเครื่องจักรด้วยกันเสมอและมีความเข้มข้นเป็นสองเท่า
c) เครื่องจักรที่ชำรุดเพียงเครื่องเดียวจะได้รับการซ่อมบำรุงโดยคนงานทั้งสองคนพร้อมกัน (ด้วยความเข้มข้นสองเท่า) และเมื่อมีเครื่องจักรที่มีข้อบกพร่องอย่างน้อยหนึ่งเครื่องปรากฏขึ้น พวกเขาก็จะเริ่มทำงานแยกกัน โดยแต่ละเครื่องจะให้บริการหนึ่งเครื่อง (ขั้นแรกให้อธิบายระบบในแง่ของกระบวนการของ ความตายและการเกิด)
สารละลาย:
สถานะของระบบ S ต่อไปนี้เป็นไปได้:
S 0 – เครื่องจักรทั้งหมดใช้งานได้
เครื่องจักร S 1 – 1 กำลังได้รับการซ่อมแซม ส่วนที่เหลือทำงานได้ดี
เครื่องจักร S 2 – 2 กำลังซ่อมแซม ส่วนที่เหลือกำลังทำงาน
กำลังซ่อมแซมเครื่องจักร S 3 – 3 ส่วนที่เหลืออยู่ในสภาพใช้งานได้
กำลังซ่อมแซมเครื่องจักร S 4 – 4 ส่วนที่เหลืออยู่ในสภาพใช้งานได้
เครื่องจักร S 5 – (1, 2) กำลังได้รับการซ่อมแซม ส่วนที่เหลืออยู่ในสภาพการทำงานที่ดี
เครื่องจักร S 6 – (1, 3) กำลังได้รับการซ่อมแซม ส่วนที่เหลืออยู่ในสภาพการทำงานที่ดี
เครื่องจักร S 7 – (1, 4) กำลังได้รับการซ่อมแซม ส่วนที่เหลืออยู่ในสภาพการทำงานที่ดี
เครื่องจักร S 8 – (2, 3) กำลังได้รับการซ่อมแซม ส่วนที่เหลืออยู่ในสภาพการทำงานที่ดี
เครื่องจักร S 9 – (2, 4) กำลังซ่อมแซม ส่วนที่เหลืออยู่ในสภาพใช้งานได้
เครื่องจักร S 10 – (3, 4) กำลังได้รับการซ่อมแซม ส่วนที่เหลืออยู่ในสภาพการทำงานที่ดี
S 11 – (1, 2, 3) เครื่องจักรกำลังซ่อมแซม มี 4 เครื่องกำลังทำงานอยู่
S 12 – (1, 2, 4) เครื่องจักรกำลังซ่อมแซม มี 3 เครื่องกำลังทำงานอยู่
S 13 – (1, 3, 4) เครื่องจักรกำลังได้รับการซ่อมแซม เครื่องจักร 2 กำลังทำงานอยู่
S 14 – กำลังซ่อมแซมเครื่องจักร (2, 3, 4) มีเครื่องจักร 1 เครื่องกำลังทำงานอยู่
S 15 – เครื่องจักรทั้งหมดได้รับการซ่อมแซมแล้ว
กราฟสถานะระบบ...
ระบบ S นี้เป็นตัวอย่างของระบบปิด เนื่องจากเครื่องจักรแต่ละเครื่องมีความต้องการที่เป็นไปได้ และกลายเป็นเครื่องจริงในขณะที่เครื่องเสีย ขณะที่เครื่องกำลังทำงานอยู่นั้นอยู่ในบล็อกดีเลย์และตั้งแต่วินาทีที่เครื่องเสียจนถึงสิ้นสุดการซ่อมแซมก็จะอยู่ในระบบเอง พนักงานแต่ละคนเป็นช่องทางการให้บริการ
หากผู้ปฏิบัติงานไม่ว่าง เขาจะตั้งค่าเครื่อง µ ต่อหน่วยเวลา ความจุของระบบ:
คำตอบ:
ส่วนแบ่งเวลาว่างโดยเฉลี่ยของพนักงานแต่ละคนคือ อยู่ที่ 0.09
เวลาทำงานเฉลี่ยของเครื่องจักร อยู่ที่ 3.64
ก) ผู้ปฏิบัติงานแต่ละคนจะได้รับมอบหมายเครื่องจักรสองเครื่อง
ความน่าจะเป็นของการหยุดทำงานของผู้ปฏิบัติงานถูกกำหนดโดยสูตร:
ความน่าจะเป็นของการจ้างงานคนงาน:
หากผู้ปฏิบัติงานไม่ว่าง เขาจะตั้งค่าเครื่อง µ ต่อหน่วยเวลา ความจุของระบบ:
คำตอบ:
ส่วนแบ่งเวลาว่างโดยเฉลี่ยของพนักงานแต่ละคนคือ data 0.62
เวลาทำงานเฉลี่ยของเครื่องจักร อยู่ที่ 1.52
b) พนักงานสองคนคอยซ่อมบำรุงเครื่องจักรด้วยกันเสมอและมีความเข้มข้นเป็นสองเท่า
ค) เครื่องจักรที่ชำรุดเพียงเครื่องเดียวจะได้รับการซ่อมบำรุงโดยคนงานทั้งสองคนพร้อมกัน (ด้วยความเข้มข้นสองเท่า) และเมื่อมีเครื่องจักรที่มีข้อบกพร่องอย่างน้อยหนึ่งเครื่องปรากฏขึ้น พวกเขาก็จะเริ่มทำงานแยกกัน โดยแต่ละเครื่องจะให้บริการหนึ่งเครื่อง (ขั้นแรกให้อธิบายระบบในแง่ของกระบวนการของ ความตายและการเกิด)
เปรียบเทียบ 5 คำตอบ:
วิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในการจัดระเบียบผู้ปฏิบัติงานที่เครื่องจักรจะเป็นเวอร์ชันเริ่มต้นของงาน
ตัวอย่างของระบบคิวที่ง่ายที่สุด (QS) ถูกกล่าวถึงข้างต้น คำว่า "โปรโตซัว" ไม่ได้หมายถึง "ระดับประถมศึกษา" แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบเหล่านี้สามารถนำไปใช้และนำไปใช้ในการคำนวณภาคปฏิบัติได้สำเร็จ
ความเป็นไปได้ของการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการตัดสินใจในระบบคิวถูกกำหนดโดยปัจจัยต่อไปนี้:
1. จำนวนแอปพลิเคชันในระบบ (ซึ่งถือเป็น QS) จะต้องมีจำนวนค่อนข้างมาก (หนาแน่น)
2. แอปพลิเคชันทั้งหมดที่ได้รับจากอินพุตของ QS ต้องเป็นประเภทเดียวกัน
3. ในการคำนวณโดยใช้สูตรคุณจำเป็นต้องรู้กฎหมายที่กำหนดการรับใบสมัครและความเข้มข้นของการประมวลผล ยิ่งกว่านั้นกระแสคำสั่งซื้อจะต้องเป็นปัวซอง
4. โครงสร้างของ QS ได้แก่ ชุดข้อกำหนดที่เข้ามาและลำดับการประมวลผลแอปพลิเคชันจะต้องได้รับการแก้ไขอย่างเคร่งครัด
5. จำเป็นต้องแยกวิชาออกจากระบบหรืออธิบายว่าเป็นข้อกำหนดที่มีความเข้มข้นในการประมวลผลคงที่
สำหรับข้อจำกัดที่ระบุไว้ข้างต้น เราสามารถเพิ่มอีกรายการหนึ่งได้ ซึ่งมีผลกระทบอย่างมากต่อมิติและความซับซ้อนของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
6. จำนวนลำดับความสำคัญที่ใช้ควรน้อยที่สุด ลำดับความสำคัญของการสมัครจะต้องคงที่ เช่น ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ในระหว่างการประมวลผลภายใน QS
ในระหว่างการทำงานบรรลุเป้าหมายหลัก - ศึกษาเนื้อหาหลักของ "QS ที่มีเวลารอคอยที่ จำกัด" และ "QS แบบปิด" ซึ่งกำหนดโดยอาจารย์สาขาวิชาวิชาการ เรายังได้ทำความคุ้นเคยกับการประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับในทางปฏิบัติเช่น รวมวัสดุที่ครอบคลุม
1) http://www.5ballov.ru
2) http://www.studentport.ru
3) http://vse5ki.ru
4) http://ปฏิวัติ..
5) โฟมิน จี.พี. วิธีการและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในกิจกรรมเชิงพาณิชย์ อ: การเงินและสถิติ, 2544.
6) กรัมเมอร์มาน วี.อี. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ อ: มัธยมปลาย, 2544.
7) Sovetov B.A., Yakovlev S.A. การสร้างแบบจำลองระบบ อ: มัธยมปลาย, 1985.
8) ลิฟชิทส์ เอ.แอล. การสร้างแบบจำลองทางสถิติของ QS ม., 1978.
9) เวนเซล อี.เอส. การวิจัยการดำเนินงาน. อ: เนากา 1980.
10) เวนท์เซล อี.เอส., ออฟชารอฟ แอล.เอ. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์ทางวิศวกรรม อ: เนากา 1988.
ในทางปฏิบัติ QS แบบช่องสัญญาณเดียวที่มีคิว (แพทย์ที่ให้บริการผู้ป่วย ตัวประมวลผลที่ดำเนินการคำสั่งเครื่อง) เป็นเรื่องปกติ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณา QS ช่องทางเดียวพร้อมคิวโดยละเอียดมากขึ้น
ให้มี QS ช่องทางเดียวที่มีคิวซึ่งไม่มีข้อจำกัดใดๆ (ไม่เกี่ยวกับความยาวของคิวหรือเวลาในการรอ) QS นี้รับโฟลว์ของแอปพลิเคชันที่มีความเข้มข้น l; การไหลของบริการมีความเข้มข้น m ผกผันกับเวลาเฉลี่ยในการให้บริการตามคำขอ จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของสถานะ QS รวมถึงลักษณะของประสิทธิผล:
แอล ระบบ– จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยในระบบ
ดับบลิว ซิสเต็มส์– เวลาเฉลี่ยที่คำขอยังคงอยู่ในระบบ
มาก– จำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยในคิว
มาก– เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในคิว
พี แซน- ความน่าจะเป็นที่ช่องไม่ว่าง (ระดับการโหลดช่อง)
สำหรับปริมาณงานสัมบูรณ์ A และ Q สัมพัทธ์ ไม่จำเป็นต้องคำนวณ เนื่องจากคิวไม่ จำกัด แต่ละคำขอจะได้รับบริการไม่ช้าก็เร็ว ดังนั้นด้วยเหตุผลเดียวกัน
สารละลาย. สถานะของระบบเช่นเดิมจะถูกกำหนดหมายเลขตามจำนวนแอปพลิเคชันใน QS:
-ส 0 – ช่องฟรี
-ส 1 – ช่องไม่ว่าง (ให้บริการตามคำขอ) ไม่มีคิว
-ส 2 – ช่องไม่ว่าง คำขอหนึ่งรายการอยู่ในคิว
-ส k – ช่องไม่ว่าง เค-1ใบสมัครอยู่ในคิว
ตามทฤษฎีแล้ว จำนวนสถานะนั้นไม่จำกัด (ไม่สิ้นสุด) สูตรสำหรับความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายในรูปแบบของความตายและการสืบพันธุ์ได้มาจากกรณีของจำนวนรัฐที่จำกัดเท่านั้น แต่เราจะทำการสันนิษฐานว่าเราจะใช้มันสำหรับจำนวนรัฐที่ไม่มีที่สิ้นสุด จากนั้นจำนวนพจน์ในสูตรจะไม่มีที่สิ้นสุด เราได้รับนิพจน์สำหรับ พี โอ:
อนุกรมในสูตร (17) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เรารู้ว่าซีรีส์มาบรรจบกัน - เป็นความก้าวหน้าที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดโดยมีตัวส่วน ร.เมื่อซีรีส์แยกออก (ซึ่งเป็นทางอ้อม แม้ว่าจะไม่เข้มงวด แต่ก็พิสูจน์ได้ว่าความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของรัฐ พี โอ, หน้า 1, …, พีเค,...มีอยู่ก็ต่อเมื่อ ) แล้ว:
มาดูจำนวนแอปพลิเคชันเฉลี่ยของ CMO กัน แอล ระบบ- ตัวแปรสุ่ม Z - จำนวนแอปพลิเคชันในระบบ - มีค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, ..., k, ... ด้วยความน่าจะเป็น พี โอ, หน้า 1, …, พีเค,... ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับ:
เมื่อใช้สูตรของ Little (9) เราจะค้นหาเวลาเฉลี่ยที่คำขอยังคงอยู่ในระบบ:
ลองหาจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิวกัน เราจะให้เหตุผลดังนี้: จำนวนแอปพลิเคชันในคิวเท่ากับจำนวนแอปพลิเคชันในระบบลบด้วยจำนวนแอปพลิเคชันที่อยู่ระหว่างการให้บริการ ซึ่งหมายความว่า (ตามกฎการเพิ่มความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในคิว มากเท่ากับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ แอล ระบบลบด้วยจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ใช้บริการ จำนวนคำขอภายใต้บริการอาจเป็นศูนย์ (หากช่องว่าง) หรือหนึ่งรายการ (หากช่องไม่ว่าง) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มดังกล่าวจะเท่ากับความน่าจะเป็นที่ช่องสัญญาณไม่ว่าง พี แซน- เห็นได้ชัดว่า:
ดังนั้น จำนวนคำขอโดยเฉลี่ยที่ให้บริการคือ:
โดยใช้สูตรของ Little (9) เราจะหาเวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันจะอยู่ในคิว
ตัวอย่างเช่น ในกิจกรรมเชิงพาณิชย์ ผู้อำนวยการฝ่ายการค้าทำหน้าที่เป็น CMO ช่องทางเดียวโดยมีการรอคอยไม่จำกัด เนื่องจากตามกฎแล้ว เขาถูกบังคับให้ให้บริการตามคำขอในลักษณะต่างๆ เช่น เอกสาร การสนทนาทางโทรศัพท์ การประชุมและการสนทนากับผู้ใต้บังคับบัญชา ตัวแทนของ เจ้าหน้าที่ตรวจสอบภาษี ตำรวจ ผู้เชี่ยวชาญด้านสินค้าโภคภัณฑ์ นักการตลาด ซัพพลายเออร์ผลิตภัณฑ์ และแก้ไขปัญหาในแวดวงการเงินสินค้าโภคภัณฑ์ด้วยความรับผิดชอบทางการเงินในระดับสูง ซึ่งเกี่ยวข้องกับการปฏิบัติตามคำร้องขอที่บังคับซึ่งบางครั้งก็รอการปฏิบัติตามข้อกำหนดอย่างไม่อดทน และ ข้อผิดพลาดในการให้บริการที่ไม่เหมาะสมนั้นมีความสำคัญทางเศรษฐกิจเป็นอย่างมาก
ขณะเดียวกันสินค้านำเข้าเพื่อขาย (บริการ) ขณะอยู่ในคลังสินค้าจัดคิวรับบริการ (ขาย)
ความยาวของคิวคือจำนวนสินค้าที่ตั้งใจจะขาย ในสถานการณ์เช่นนี้ ผู้ขายจะทำหน้าที่เป็นช่องทางในการให้บริการสินค้า หากจำนวนสินค้าที่ต้องการขายมีจำนวนมาก ในกรณีนี้ เรากำลังเผชิญกับกรณีทั่วไปของ QS ที่ต้องรอคอย
ให้เราพิจารณา QS ช่องทางเดียวที่ง่ายที่สุดพร้อมการรอบริการ ซึ่งรับโฟลว์คำขอแบบปัวซองที่มีความเข้มข้น l และความเข้มข้นของการบริการ µ
นอกจากนี้คำขอที่ได้รับในเวลาที่ช่องไม่ว่างในการให้บริการจะถูกจัดคิวและรอการบริการ
กราฟสถานะที่มีป้ายกำกับของระบบดังกล่าวจะแสดงอยู่ในรูปที่ 3.5
จำนวนสถานะที่เป็นไปได้ไม่มีที่สิ้นสุด:
ช่องฟรีไม่มีคิว ;
ช่องบริการยุ่งไม่มีคิว ;
- - ช่องไม่ว่าง มีคำขอหนึ่งรายการอยู่ในคิว
- - ช่องไม่ว่าง คำขออยู่ในคิว
แบบจำลองสำหรับการประมาณความน่าจะเป็นของสถานะ QS ที่มีคิวไม่จำกัดสามารถรับได้จากสูตรที่จัดสรรสำหรับ QS ที่มีคิวไม่จำกัดโดยผ่านไปยังขีดจำกัดที่ m>?:
ข้าว. 3.5
ควรสังเกตว่าสำหรับ QS ที่มีความยาวคิวจำกัดในสูตร
มีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยมีเทอมแรก 1 และตัวส่วน ลำดับดังกล่าวคือผลรวมของพจน์จำนวนอนันต์ที่ ผลรวมนี้จะมาบรรจบกันหากความก้าวหน้า ซึ่งลดลงอย่างไม่มีสิ้นสุดที่ ซึ่งกำหนดโหมดการทำงานในสภาวะคงตัวของ QS โดยที่คิว ที่ สามารถขยายไปสู่อนันต์เมื่อเวลาผ่านไป
เนื่องจากใน QS ที่พิจารณานั้น ไม่มีการจำกัดความยาวของคิว ดังนั้นคำขอใดๆ จึงสามารถให้บริการได้ ดังนั้นปริมาณงานสัมพัทธ์ตามลำดับ และปริมาณงานสัมบูรณ์
ความน่าจะเป็นที่แอปพลิเคชัน k รายการจะอยู่ในคิวคือ:
จำนวนใบสมัครโดยเฉลี่ยในคิว -
จำนวนการใช้งานเฉลี่ยในระบบ -
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในระบบ -
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันอยู่ในระบบ -
หากใน QS ช่องทางเดียวที่มีการรอคอย ความเข้มข้นของคำขอที่ได้รับมากกว่าความเข้มข้นของการบริการ คิวก็จะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ในเรื่องนี้ การวิเคราะห์ระบบ QS ที่เสถียรซึ่งทำงานในโหมดหยุดนิ่งที่
ลองพิจารณาระบบคิวแบบช่องเดียวที่มีการรอ
เราจะถือว่าโฟลว์คำขอบริการขาเข้าเป็นโฟลว์แบบธรรมดาที่มีความเข้มข้น แล
ความเข้มของการไหลของบริการคือμ ระยะเวลาการให้บริการเป็นตัวแปรสุ่มภายใต้กฎหมายการกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล โฟลว์บริการเป็นโฟลว์เหตุการณ์ปัวซองที่ง่ายที่สุด
คำขอที่ได้รับเมื่อช่องไม่ว่างอยู่ในคิวและรอการบริการ เราจะถือว่าขนาดคิวมีจำกัดและไม่สามารถรองรับได้มากกว่านั้นม แอปพลิเคชันเช่น แอปพลิเคชันที่ค้นพบตัวเองในขณะที่มาถึงที่ CMOคำขอ +1 ม. (ม รอเข้าแถวและมีคนหนึ่งกำลังเข้ารับบริการ) ออกจาก CMO
ระบบสมการที่อธิบายกระบวนการในระบบนี้มีคำตอบ:
(0‑1)
ตัวส่วนของนิพจน์แรกคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีเทอมแรก 1 และตัวส่วน ρ ซึ่งเราจะได้
ที่อาร์ = 1 คุณสามารถใช้การคำนวณโดยตรงได้
(0‑8)
จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบ
เนื่องจากจำนวนการใช้งานเฉลี่ยในระบบ
(0‑9)
จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ให้บริการอยู่ที่ใด จากนั้นจึงรู้ว่ายังต้องค้นหา- เพราะ มีเพียงช่องทางเดียว ดังนั้นจำนวนคำขอที่ให้บริการอาจเป็น 0 หรือ 1 ด้วยความน่าจะเป็นพี 0 และ พี 1=1- พี 0 ดังนั้นจากที่ไหน
(0‑10)
และจำนวนการใช้งานเฉลี่ยในระบบคือ
(0‑11)
เวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชันในคิว.
กล่าวคือ เวลารอโดยเฉลี่ยสำหรับแอปพลิเคชันในคิวจะเท่ากับจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันในคิวหารด้วยความเข้มข้นของโฟลว์แอปพลิเคชัน
เวลาเฉลี่ยที่แอปพลิเคชันยังคงอยู่ในระบบ
เวลาที่แอปพลิเคชันอยู่ในระบบคือผลรวมของเวลารอของแอปพลิเคชันในคิวและเวลาให้บริการ หากโหลดของระบบเป็น 100% ดังนั้น =1/μ มิฉะนั้น =คิว/ไมโคร จากที่นี่
(0‑13)
เนื้อหาของงาน.
การเตรียมเครื่องมือทดลอง .
ดำเนินการในทำนองเดียวกันตามกฎทั่วไป
การคำนวณโดยใช้แบบจำลองเชิงวิเคราะห์.
1. เตรียมตารางต่อไปนี้ใน Microsoft Excel
2. ในคอลัมน์สำหรับพารามิเตอร์ QS ของตาราง ให้จดข้อมูลเริ่มต้นที่กำหนดตามกฎ:
ม.=1,2,3
(ความยาวคิวสูงสุด)
สำหรับแต่ละค่าม จำเป็นต้องค้นหาค่าทางทฤษฎีและการทดลองของตัวบ่งชี้ QS สำหรับคู่ค่าต่อไปนี้:
= <порядковый номер в списке группы>
3. ป้อนสูตรที่เหมาะสมในคอลัมน์ที่มีตัวบ่งชี้แบบจำลองเชิงวิเคราะห์
ทดลองกับแบบจำลอง.
1. ตั้งค่าโหมดการเปิดตัวด้วยเวลาบริการแบบกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลโดยตั้งค่าพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องเป็น 1
2. สำหรับทุกการรวมกันม และรันโมเดล
3. ป้อนผลลัพธ์ของการวิ่งลงในตาราง
4. ป้อนสูตรเพื่อคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวบ่งชี้ในคอลัมน์ที่เหมาะสมของตาราง P เปิด, q และ A.
การวิเคราะห์ผลลัพธ์ .
1. วิเคราะห์ผลลัพธ์ที่ได้จากวิธีทางทฤษฎีและการทดลองโดยเปรียบเทียบผลลัพธ์ระหว่างกัน
2. สำหรับ m=3 ให้พล็อตการขึ้นต่อกันบนไดอะแกรมเดียวพี เปิด จากข้อมูลที่ได้รับทั้งทางทฤษฎีและเชิงทดลอง
การเพิ่มประสิทธิภาพพารามิเตอร์ QS .
แก้ไขปัญหาการปรับขนาดของจำนวนสถานที่ในคิวให้เหมาะสมม สำหรับอุปกรณ์ที่มีเวลาให้บริการโดยเฉลี่ย = จากมุมมองของการได้รับผลกำไรสูงสุด ตามเงื่อนไขของปัญหา ให้ทำดังนี้:
- รายได้จากการบริการหนึ่งแอปพลิเคชันเท่ากับ 80 USD/ชั่วโมง
- ค่าใช้จ่ายในการบำรุงรักษาอุปกรณ์หนึ่งเครื่องเท่ากับ 1cu/ชั่วโมง
1. สำหรับการคำนวณ แนะนำให้สร้างตาราง:
คอลัมน์แรกเต็มไปด้วยค่าของตัวเลขในชุดข้อมูลธรรมชาติ (1,2,3...)
เซลล์ทั้งหมดในคอลัมน์ที่สองและสามจะเต็มไปด้วยค่าและค่า
สูตรสำหรับคอลัมน์ของตารางในส่วน 0 จะถูกโอนไปยังเซลล์ของคอลัมน์ตั้งแต่คอลัมน์ที่สี่ถึงเก้า
ในคอลัมน์ที่มีข้อมูลเริ่มต้นของส่วนรายได้ ค่าใช้จ่าย กำไร ให้ป้อนค่า (ดูด้านบน)
ในคอลัมน์ที่มีค่าจากการคำนวณของส่วนรายได้ ค่าใช้จ่าย กำไร ให้เขียนสูตรการคำนวณ:
- จำนวนการสมัครต่อหน่วยเวลา
ไม่มี =A
- รายได้รวมต่อหน่วยเวลา
ฉัน S = ฉัน r *N r
- ปริมาณการใช้ทั้งหมดต่อหน่วยเวลา
E S =E s + E q *(n-1)
- กำไรต่อหน่วยเวลา
P = ฉัน ส - อี ส
ที่ไหน
ฉันร - รายได้จากการสมัครเพียงครั้งเดียว,
อีส - ต้นทุนการดำเนินงานของอุปกรณ์หนึ่งเครื่อง,
สมการ - ค่าใช้จ่ายในการดำเนินงานสถานเดียวในคิว.
กราฟสำหรับ P เปิด
- ตารางพร้อมข้อมูลเพื่อค้นหาสิ่งที่ดีที่สุด m และค่าของ m เลือก
- กราฟกำไรต่อหน่วยเวลาเทียบกับม.
คำถามควบคุม :
1) อธิบายโดยย่อเกี่ยวกับโมเดล QS ช่องทางเดียวที่มีคิวที่จำกัด
2) ตัวบ่งชี้ใดที่แสดงถึงการทำงานของ QS ช่องทางเดียวที่มีความล้มเหลว
3) ความน่าจะเป็น p คำนวณอย่างไร 0 ?
4) ความน่าจะเป็น p คำนวณอย่างไรฉัน?
5) จะค้นหาความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในการให้บริการแอปพลิเคชันได้อย่างไร?
6) จะหาแบนด์วิดธ์สัมพัทธ์ได้อย่างไร?
7) ปริมาณงานสัมบูรณ์คืออะไร?
8) จำนวนใบสมัครโดยเฉลี่ยในระบบคำนวณอย่างไร?
9) ยกตัวอย่าง QS ที่มีคิวจำกัด
งาน.
1) ท่าเรือมีท่าเทียบเรือสำหรับขนถ่ายสินค้าจำนวน 1 ท่า อัตราการไหลคือ 0.5 การเข้าชมต่อวัน เวลาขนถ่ายโดยเฉลี่ยสำหรับเรือหนึ่งลำคือ 2 วัน หากมีเรืออยู่ในคิวขนถ่าย 3 ลำ เรือที่มาถึงจะถูกส่งไปยังท่าเทียบเรืออื่นเพื่อขนถ่าย ค้นหาตัวชี้วัดประสิทธิภาพท่าเทียบเรือ
2) โต๊ะข้อมูลสถานีรถไฟรับคำขอทางโทรศัพท์ที่ความเข้มข้น 80 คำขอต่อชั่วโมง เจ้าหน้าที่ฝ่ายช่วยเหลือจะรับสายเรียกเข้าโดยเฉลี่ย 0.7 นาที หากผู้ปฏิบัติงานไม่ว่าง ลูกค้าจะได้รับข้อความ “รอการตอบกลับ” โดยคำขอจะอยู่ในคิว ซึ่งมีความยาวไม่เกิน 4 คำขอ ประเมินการทำงานของฝ่ายช่วยเหลือและตัวเลือกสำหรับการปรับโครงสร้างองค์กร